曲面的共形不变量与共形几何基础 我们先从共形映射的基本概念开始。共形映射是保持角度不变的映射。具体来说，如果两个曲面之间存在一个共形映射，那么它们之间的角度（包括曲线交角）在映射前后保持不变。 接下来，我们引入第一基本形式。曲面S的第一基本形式是：\( ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 \)，它描述了曲面上的弧长元素。在共形几何中，我们关注的是共形结构，即第一基本形式在相差一个正标量函数因子下的等价类。如果两个第一基本形式满足 \( ds'^2 = \lambda^2 ds^2 \)（其中λ是曲面上某点的正函数），则它们属于同一个共形等价类。 然后，我们讨论共形不变量。共形不变量是在共形映射下保持不变的几何量。一个基本的共形不变量是维廷格（Weyl）共形曲率张量。在n维黎曼流形中，维廷格张量由黎曼曲率张量、里奇曲率张量和标量曲率构造而成，它在共形变换下具有特定的协变性。 对于二维曲面（n=2），情况特殊。任何二维黎曼流形都是局部共形平坦的，即存在局部坐标使得第一基本形式是 \( ds^2 = \lambda^2(z) |dz|^2 \)（其中z是复坐标）。此时，维廷格张量恒为零。二维曲面的共形不变量由更精细的结构描述，例如共形结构的模空间（moduli space）。 最后，我们简要提及高维情形。在n≥3维时，维廷格张量是一个重要的共形不变量。如果维廷格张量为零，则该流形是局部共形平坦的。维廷格张量在共形几何中扮演着类似于黎曼曲率张量在黎曼几何中的角色，它是衡量流形与共形平坦之间偏差的基本不变量。