平行曲面的法曲率关系 我将为您讲解平行曲面的法曲率关系。让我们从基本概念开始，逐步深入。 第一步：平行曲面的定义 平行曲面是指由给定曲面沿其法线方向平移固定距离而得到的新曲面。设原曲面为S，其单位法向量场为n，则距离为d的平行曲面S_ d可表示为： S_ d(p) = S(p) + d·n(p) 其中p是曲面S上的点。当d>0时，平行曲面位于原曲面的"外侧"；当d <0时，位于"内侧"。 第二步：曲面的法曲率回顾 曲面上某点p处沿方向v的法曲率κ_ n定义为曲面沿该方向的弯曲程度，计算公式为： κ_ n = II(v,v)/I(v,v) 其中I是第一基本形式（度量曲面的内蕴几何），II是第二基本形式（描述曲面在空间中的弯曲）。法曲率反映了曲面沿特定方向的弯曲程度。 第三步：平行曲面的基本形式关系 平行曲面S_ d的第一基本形式I_ d和第二基本形式II_ d与原曲面S的基本形式有如下关系： I_ d = I - 2dII + d²III II_ d = II - dIII 其中III是第三基本形式，描述法向量的变化率。这些关系表明平行曲面的几何性质与原曲面密切相关。 第四步：法曲率的精确关系式 设原曲面S在点p处沿方向v的法曲率为κ_ n，则平行曲面S_ d在同一点对应方向上的法曲率κ_ n,d为： κ_ n,d = κ_ n/(1 - dκ_ n) 这个公式揭示了平行曲面的法曲率与原曲面法曲率之间的定量关系。分母中的(1-dκ_ n)项反映了距离d对曲率的影响。 第五步：法曲率关系的几何解释 当dκ_ n < 1时，平行曲面保持与原曲面相同的弯曲方向；当dκ_ n > 1时，法曲率改变符号，意味着平行曲面在该方向的弯曲方向发生反转；当dκ_ n = 1时，法曲率趋于无穷大，对应平行曲面的奇点（如尖点或自交点）。 第六步：主曲率关系 由于法曲率关系对任意方向成立，特别地，对于主方向（法曲率取极值的方向），平行曲面的主曲率κ₁,d和κ₂,d与原曲面的主曲率κ₁和κ₂满足： κ₁,d = κ₁/(1 - dκ₁) κ₂,d = κ₂/(1 - dκ₂) 这一关系是研究平行曲面局部几何性质的基础。 第七步：高斯曲率与平均曲率的变换 基于主曲率关系，可以推导出平行曲面的高斯曲率K_ d和平均曲率H_ d： K_ d = K/(1 - 2dH + d²K) H_ d = (H - dK)/(1 - 2dH + d²K) 其中K和H分别是原曲面的高斯曲率和平均曲率。这些公式完整描述了平行曲面的弯曲特性变化。