可测函数的等度可测性与一致可积性的关系 我们先从等度可测性和一致可积性的定义开始，然后逐步探讨它们之间的关系。 1. 等度可测性的定义 等度可测性描述函数族在测度意义上的"一致性"：设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是测度空间，\(\mathcal{F}\) 是定义在 \(X\) 上的实值可测函数族。称 \(\mathcal{F}\) 是等度可测的，如果对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在可测集 \(E \subset X\) 满足 \(\mu(E) < \infty\)，使得对每个 \(f \in \mathcal{F}\)，有 \[ \mu(\{x \in X \setminus E : |f(x)| > \varepsilon\}) < \varepsilon. \] 直观上，这意味着函数族在除去一个有限测度集后是一致有界的（在测度意义下）。 2. 一致可积性的定义 一致可积性关注函数族在积分意义上的"一致性"：设 \(\mu(X) < \infty\)，\(\mathcal{F}\) 是 \(L^1(\mu)\) 中的函数族。称 \(\mathcal{F}\) 是一致可积的，如果对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意可测集 \(A\) 满足 \(\mu(A) < \delta\)，有 \[ \sup_ {f \in \mathcal{F}} \int_ A |f| \, d\mu < \varepsilon, \] 且存在 \(M > 0\) 使得 \(\sup_ {f \in \mathcal{F}} \int_ {\{|f| > M\}} |f| \, d\mu < \varepsilon\)。第二个条件等价于函数族在无穷远处的积分一致小。 3. 有限测度空间下的关系 当 \(\mu(X) < \infty\) 时，等度可测性和一致可积性之间存在以下联系： 等度可测性推不出一致可积性 ：例如，取 \(X = [ 0,1]\)，\(\mu\) 为勒贝格测度，定义 \(f_ n(x) = n \cdot \mathbf{1}_ {[ 0,1/n]}(x)\)。该函数族是等度可测的（因为对任意 \(\varepsilon > 0\)，取 \(E = \emptyset\) 即可），但不是一致可积的，因为 \(\int_ X |f_ n| \, d\mu = 1\) 不随 \(n\) 趋于零。 一致可积性可推出等度可积性 （等度可积性是一种更强的等度可测性，要求积分一致小）。一致可积的函数族必然是等度可积的，从而也是等度可测的。 4. 无限测度空间下的差异 当 \(\mu(X) = \infty\) 时，两者关系更复杂： 等度可测性主要控制函数族在"无穷远处"的性态，确保函数值大的点集中在有限测度集内。 一致可积性要求函数族在整体上积分一致有界，且在小集上的积分一致小。 此时，等度可测性不蕴含一致可积性（反例同上，但需将 \(X\) 取为无界集），反之亦然。 5. 结合条件的关系 在特定条件下，两者可结合得到更强结论： 若 \(\mathcal{F}\) 是等度可测且一致可积的，则函数族在 \(L^1\) 范数下是相对紧的（由 Dunford-Pettis 定理）。 在概率空间中，等度可测性常与一致可积性结合，用于刻画随机变量族的紧性。 总结：等度可测性关注函数值大的点的分布，一致可积性关注积分行为。在有限测度下，一致可积性强于等度可测性；在无限测度下，两者相互独立，但结合后可推出较强的紧性结论。