赫维茨定理（Hurwitz's Theorem） 赫维茨定理是复分析中的一个重要结果，它描述了全纯函数序列在紧集上一致收敛时，其极限函数的零点分布与序列中函数零点分布的关系。该定理由数学家阿道夫·赫维茨于1889年提出，在解析函数论和函数序列收敛性研究中具有基础地位。 定理的直观背景 考虑一列全纯函数 \( f_ n \) 在区域 \( D \subset \mathbb{C} \) 内满足 \( f_ n \to f \) 一致收敛于紧子集上。若每个 \( f_ n \) 在 \( D \) 内无零点，极限函数 \( f \) 是否也无零点？赫维茨定理否定了这一猜测，但给出了精确条件：当 \( f \) 不恒为零时，其零点必是某个 \( f_ n \) 的零点的极限点。 预备概念：全纯函数与零点孤立性 全纯函数在区域 \( D \) 内解析，其零点是孤立的（除非函数恒为零）。 若 \( f \) 在 \( z_ 0 \) 处有 \( k \) 阶零点，则存在邻域 \( U \) 使得 \( f(z) = (z - z_ 0)^k g(z) \)，其中 \( g \) 在 \( U \) 内全纯且非零。 鲁歇定理（关键引理） 赫维茨定理的证明依赖鲁歇定理：若全纯函数 \( f, g \) 在简单闭曲线 \( \gamma \) 上满足 \( |f(z) - g(z)| < |f(z)| \)，则 \( f \) 和 \( g \) 在 \( \gamma \) 内部有相同数量的零点（计重数）。 赫维茨定理的严格表述 设 \( \{f_ n\} \) 是区域 \( D \) 内的全纯函数序列，在 \( D \) 的任意紧子集上一致收敛于 \( f \)，且 \( f \) 不恒为零。则： 若 \( f(z_ 0) = 0 \)，存在序列 \( \{z_ n\} \subset D \) 使得 \( z_ n \to z_ 0 \) 且 \( f_ n(z_ n) = 0 \)（对充分大的 \( n \)）。 若每个 \( f_ n \) 在 \( D \) 内无零点，则 \( f \) 在 \( D \) 内或无零点，或恒为零。 定理的证明思路 对 \( f \) 的零点 \( z_ 0 \)，选取足够小的圆周 \( \gamma \) 使得 \( f \) 在 \( \gamma \) 上无零点且在 \( \gamma \) 内无其他零点。 由一致收敛性，当 \( n \) 充分大时，在 \( \gamma \) 上 \( |f_ n(z) - f(z)| < |f(z)| \)，应用鲁歇定理可知 \( f_ n \) 在 \( \gamma \) 内至少有一个零点。 通过调整 \( \gamma \) 的半径，可构造零点序列收敛于 \( z_ 0 \)。 应用示例：单位圆盘上的全纯函数 考虑 \( f_ n(z) = \frac{z}{n} \) 在单位圆盘 \( \mathbb{D} \) 上一致收敛于 \( f(z) = 0 \)。此时 \( f \) 恒为零，不满足定理中“不恒为零”的条件，因此结论不适用。若改为 \( f_ n(z) = z + \frac{1}{n} \)，则极限 \( f(z) = z \) 在原点有零点，且 \( f_ n \) 的零点 \( z_ n = -\frac{1}{n} \to 0 \) 恰好对应 \( f \) 的零点。 推广与相关结论 定理可推广到亚纯函数序列，涉及极点的分布。 在复动力系统中，赫维茨定理用于研究多项式序列的朱利亚集稳定性。 与儒歇定理结合，可证明单叶函数序列的极限仍保持单叶性（当极限非常值）。 赫维茨定理揭示了全纯函数序列收敛时零点集的“下半连续性”，是研究解析函数逼近性质的重要工具。