遍历理论中的局部线性化与稳定流形定理 基本概念：动力系统的线性化 在光滑动力系统的研究中，一个核心思想是：在非游荡点（特别是双曲不动点）附近，系统的动力学行为可以通过其线性化系统来近似。考虑一个 \(C^{1+\alpha}\) 微分同胚 \(f: M \to M\) 在一个不动点 \(p\)（即 \(f(p) = p\)）附近。系统的线性化由 \(f\) 在 \(p\) 点的导数（雅可比矩阵）\(Df(p): T_ p M \to T_ p M\) 给出。线性化系统 \(y_ {n+1} = Df(p) y_ n\) 的动力学是容易分析的，特别是当 \(Df(p)\) 没有模为1的特征值时（即 \(p\) 是双曲不动点）。 哈特曼-格罗布曼定理：拓扑共轭 哈特曼-格罗布曼定理是局部线性化的第一个严格结果。它断言：如果 \(p\) 是 \(f\) 的一个双曲不动点，那么在 \(p\) 的某个邻域 \(U\) 内，\(f\) 与它的线性部分 \(Df(p)\) 是拓扑共轭的。这意味着存在一个同胚 \(h: U \to V \subset T_ p M\)，使得在定义域内满足 \(h \circ f = Df(p) \circ h\)。这个定理保证了非线性系统在拓扑层面上，其局部结构完全由线性化决定。 稳定/不稳定流形：几何结构 对于双曲不动点 \(p\)，切空间 \(T_ p M\) 可以分解为稳定子空间 \(E^s\)（对应特征值模小于1）和不稳定子空间 \(E^u\)（对应特征值模大于1）。稳定流形定理将这个线性分解提升到非线性系统上。点 \(p\) 的局部稳定流形 \(W^s_ {loc}(p)\) 定义为：在 \(p\) 附近，所有在正向迭代下渐近趋于 \(p\) 的点的集合，即 \(\{ x \in U : \lim_ {n \to \infty} f^n(x) = p \}\)。该定理证明 \(W^s_ {loc}(p)\) 是一个与 \(E^s\) 微分同胚的浸入子流形，并且其切空间在 \(p\) 点正好是 \(E^s\)。类似地，可以定义局部不稳定流形 \(W^u_ {loc}(p)\)。 光滑线性化与共振条件 哈特曼-格罗布曼定理只提供了拓扑共轭。如果我们希望线性化映射 \(h\) 具有更高的光滑性（例如 \(C^1\), \(C^\infty\)），则需要额外的、更苛刻的条件。这些条件通常与 \(Df(p)\) 的特征值 \(\lambda_ i\) 之间的共振关系有关。如果不存在整数 \(k_ 1, k_ 2, ..., k_ n \ge 0\) 满足 \(\sum k_ i \ge 2\) 使得 \(\lambda_ j = \lambda_ 1^{k_ 1} \lambda_ 2^{k_ 2} ... \lambda_ n^{k_ n}\)（对某个 \(j\)），则称系统满足（庞加莱）非共振条件。在这种情况下，光滑线性化（即 \(h\) 是微分同胚）是可能的。 稳定流形定理的精细化与绝对连续性 在遍历理论，特别是研究非一致双曲系统时，稳定流形定理有更精细的版本。对于遍历不变测度 \(\mu\) 的几乎每一点 \(x\)，如果其李雅普诺夫指数均非零，则存在所谓的（Pesin）稳定流形 \(W^s(x)\) 和不稳定流形 \(W^u(x)\)。这些流形构成叶状结构。一个关键性质是这些叶状结构的绝对连续性：如果一个可测集在某个横截面上具有正测度，那么该集合并上所有通过它的稳定（或不稳定）流形所构成的“饱和集”也具有正测度。这个性质是将相空间沿稳定/不稳定方向的几何分解与测度论联系起来的核心，是证明许多遍历性质（如系统是伯努利系统）的基础。