二次型的等距群
字数 2889 2025-12-04 17:53:05

二次型的等距群

我们先从二次型的基本概念开始。设 \(V\) 是域 \(F\) 上的一个有限维向量空间。\(V\) 上的一个二次型 \(Q\) 是一个函数 \(Q: V \to F\)，满足：

  1. 对任意 \(a \in F\) 和 \(v \in V\)，有 \(Q(av) = a^2 Q(v)\)。
  2. 由 \(Q\) 极分化得到的函数 \(B_Q(v, w) = Q(v+w) - Q(v) - Q(w)\) 是 \(V\) 上的一个对称双线性型。

等距群的核心思想是研究保持二次型 \(Q\) 不变的线性变换。

第一步：定义等距变换

一个线性变换 \(T: V \to V\) 称为二次型 \(Q\) 的一个等距变换（isometry），如果它满足：

\[Q(T(v)) = Q(v) \quad \text{对所有 } v \in V \text{ 成立}. \]

直观地说，无论你对向量 \(v\) 施加怎样的变换 \(T\)，变换后的向量 \(T(v)\) 的“长度平方”（由 \(Q\) 度量）与 \(v\) 原来的“长度平方”完全相同。

第二步：定义等距群

现在，我们考虑所有这样的等距变换构成的集合。可以验证：

  • 恒等变换：恒等映射 \(\mathrm{id}_V\) 显然是一个等距变换。
  • 复合运算封闭：如果 \(T_1\) 和 \(T_2\) 都是等距变换，那么它们的复合 \(T_1 \circ T_2\) 也是一个等距变换，因为 \(Q(T_1(T_2(v))) = Q(T_2(v)) = Q(v)\)。
  • 可逆性：如果 \(T\) 是一个等距变换，并且 \(V\) 是有限维的（通常我们这样假设），那么 \(T\) 必须是单射（因为如果 \(T(v)=0\)，则 \(Q(v)=Q(0)=0\)，在非退化等常见情况下可推出 \(v=0\)），从而是可逆的。进一步，其逆变换 \(T^{-1}\) 也是一个等距变换，因为 \(Q(T^{-1}(v)) = Q(T(T^{-1}(v))) = Q(v)\)。

因此，所有等距变换在复合运算下构成一个群。这个群就称为二次型 \(Q\) 的等距群（Isometry Group），记作 \(\mathrm{O}(Q)\) 或 \(\mathrm{O}(V, Q)\)。

第三步：与相伴双线性型的关系

等距变换的条件也可以用相伴的双线性型 \(B_Q\) 来等价描述。一个线性变换 \(T\) 是等距变换，当且仅当它对所有 \(v, w \in V\) 满足：

\[B_Q(T(v), T(w)) = B_Q(v, w). \]

这个条件意味着变换 \(T\) 不仅保持“长度”，还保持了所有向量之间的“夹角”（由 \(B_Q\) 度量）。你可以验证，从 \(Q(T(v)) = Q(v)\) 和双线性型的极化恒等式可以推出这个条件，反之亦然。

第四步：矩阵表示

当我们为向量空间 \(V\) 选定一组基 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 后，二次型 \(Q\) 可以用一个对称矩阵 \(A\) 来表示，满足 \(Q(v) = v^T A v\)（这里 \(v\) 是坐标列向量）。同样，双线性型 \(B_Q(v, w) = v^T A w\)。

现在，设线性变换 \(T\) 在这组基下的矩阵是 \(M\)。那么，\(T\) 是等距变换的条件 \(B_Q(T(v), T(w)) = B_Q(v, w)\) 等价于矩阵方程：

\[(Mv)^T A (Mw) = v^T A w \quad \text{对所有向量 } v, w. \]

这又等价于：

\[v^T (M^T A M) w = v^T A w \quad \text{对所有向量 } v, w. \]

要使这个等式对所有 \(v, w\) 成立，必须满足：

\[M^T A M = A. \]

因此，在给定基底下，二次型 \(Q\)（其矩阵为 \(A\)）的等距群 \(\mathrm{O}(Q)\) 同构于所有满足 \(M^T A M = A\) 的可逆矩阵 \(M\) 构成的矩阵群：

\[\mathrm{O}(Q) \cong \{ M \in \mathrm{GL}(n, F) \mid M^T A M = A \}. \]

第五步：重要特例——正交群

最经典和重要的例子是当域 \(F\) 为实数域 \(\mathbb{R}\)，并且二次型 \(Q\) 是正定的。在这种情况下，我们可以通过选择一组标准正交基（使得 \(B_Q\) 为单位矩阵），将 \(Q\) 化为 \(Q(v) = v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2\)。此时，表示 \(Q\) 的矩阵 \(A\) 就是单位矩阵 \(I_n\)。

等距群的条件 \(M^T I_n M = I_n\) 就简化为：

\[M^T M = I_n. \]

所有满足这个条件的 \(n \times n\) 实矩阵构成的群，称为 \(n\) 阶正交群（Orthogonal Group），记作 \(\mathrm{O}(n)\)。这个群中的矩阵就是我们在欧几里得空间中熟知的正交矩阵，它们代表的是保持向量点积（和长度）不变的线性变换，即旋转和反射。

第六步：推广与变体

等距群的概念可以推广到更一般的情形：

  1. 其他域：\(F\) 可以是复数域、有限域等。在不同的域上，等距群的结构会有很大差异。
  2. 非退化性：如果相伴的双线性型 \(B_Q\) 是非退化的（即矩阵 \(A\) 可逆），那么等距群的性质更好研究。如果 \(B_Q\) 是退化的，等距群的结构会更复杂。
  3. 特殊等距群：在正交群 \(\mathrm{O}(n)\) 中，行列式为 \(+1\) 的矩阵构成一个子群，称为特殊正交群 \(\mathrm{SO}(n)\)，它只包含旋转，而不包含反射。类似地，对于一般的 \(\mathrm{O}(Q)\)，我们也可以考虑其行列式为1的子群。
  4. 不定正交群：如果在实数域上，二次型 \(Q\) 不是正定的（例如在狭义相对论中出现的闵可夫斯基度规），其等距群称为不定正交群，记作 \(\mathrm{O}(p, q)\)，其中 \((p, q)\) 是 \(Q\) 的符号（正、负特征值的个数）。

总结来说，二次型的等距群是研究该二次型对称性的基本代数对象，它将几何中的“刚体运动”概念推广到了抽象的向量空间和二次型上。

二次型的等距群 我们先从二次型的基本概念开始。设 \( V \) 是域 \( F \) 上的一个有限维向量空间。\( V \) 上的一个二次型 \( Q \) 是一个函数 \( Q: V \to F \)，满足： 对任意 \( a \in F \) 和 \( v \in V \)，有 \( Q(av) = a^2 Q(v) \)。 由 \( Q \) 极分化得到的函数 \( B_ Q(v, w) = Q(v+w) - Q(v) - Q(w) \) 是 \( V \) 上的一个对称双线性型。 等距群的核心思想是研究保持二次型 \( Q \) 不变的线性变换。 第一步：定义等距变换 一个线性变换 \( T: V \to V \) 称为二次型 \( Q \) 的一个 等距变换 （isometry），如果它满足： \[ Q(T(v)) = Q(v) \quad \text{对所有 } v \in V \text{ 成立}. \] 直观地说，无论你对向量 \( v \) 施加怎样的变换 \( T \)，变换后的向量 \( T(v) \) 的“长度平方”（由 \( Q \) 度量）与 \( v \) 原来的“长度平方”完全相同。 第二步：定义等距群 现在，我们考虑所有这样的等距变换构成的集合。可以验证： 恒等变换 ：恒等映射 \( \mathrm{id}_ V \) 显然是一个等距变换。 复合运算封闭 ：如果 \( T_ 1 \) 和 \( T_ 2 \) 都是等距变换，那么它们的复合 \( T_ 1 \circ T_ 2 \) 也是一个等距变换，因为 \( Q(T_ 1(T_ 2(v))) = Q(T_ 2(v)) = Q(v) \)。 可逆性 ：如果 \( T \) 是一个等距变换，并且 \( V \) 是有限维的（通常我们这样假设），那么 \( T \) 必须是单射（因为如果 \( T(v)=0 \)，则 \( Q(v)=Q(0)=0 \)，在非退化等常见情况下可推出 \( v=0 \)），从而是可逆的。进一步，其逆变换 \( T^{-1} \) 也是一个等距变换，因为 \( Q(T^{-1}(v)) = Q(T(T^{-1}(v))) = Q(v) \)。 因此，所有等距变换在复合运算下构成一个群。这个群就称为二次型 \( Q \) 的 等距群 （Isometry Group），记作 \( \mathrm{O}(Q) \) 或 \( \mathrm{O}(V, Q) \)。 第三步：与相伴双线性型的关系 等距变换的条件也可以用相伴的双线性型 \( B_ Q \) 来等价描述。一个线性变换 \( T \) 是等距变换，当且仅当它对所有 \( v, w \in V \) 满足： \[ B_ Q(T(v), T(w)) = B_ Q(v, w). \] 这个条件意味着变换 \( T \) 不仅保持“长度”，还保持了所有向量之间的“夹角”（由 \( B_ Q \) 度量）。你可以验证，从 \( Q(T(v)) = Q(v) \) 和双线性型的极化恒等式可以推出这个条件，反之亦然。 第四步：矩阵表示 当我们为向量空间 \( V \) 选定一组基 \( \{e_ 1, \dots, e_ n\} \) 后，二次型 \( Q \) 可以用一个对称矩阵 \( A \) 来表示，满足 \( Q(v) = v^T A v \)（这里 \( v \) 是坐标列向量）。同样，双线性型 \( B_ Q(v, w) = v^T A w \)。 现在，设线性变换 \( T \) 在这组基下的矩阵是 \( M \)。那么，\( T \) 是等距变换的条件 \( B_ Q(T(v), T(w)) = B_ Q(v, w) \) 等价于矩阵方程： \[ (Mv)^T A (Mw) = v^T A w \quad \text{对所有向量 } v, w. \] 这又等价于： \[ v^T (M^T A M) w = v^T A w \quad \text{对所有向量 } v, w. \] 要使这个等式对所有 \( v, w \) 成立，必须满足： \[ M^T A M = A. \] 因此，在给定基底下，二次型 \( Q \)（其矩阵为 \( A \)）的等距群 \( \mathrm{O}(Q) \) 同构于所有满足 \( M^T A M = A \) 的可逆矩阵 \( M \) 构成的矩阵群： \[ \mathrm{O}(Q) \cong \{ M \in \mathrm{GL}(n, F) \mid M^T A M = A \}. \] 第五步：重要特例——正交群 最经典和重要的例子是当域 \( F \) 为实数域 \( \mathbb{R} \)，并且二次型 \( Q \) 是 正定 的。在这种情况下，我们可以通过选择一组标准正交基（使得 \( B_ Q \) 为单位矩阵），将 \( Q \) 化为 \( Q(v) = v_ 1^2 + v_ 2^2 + \dots + v_ n^2 \)。此时，表示 \( Q \) 的矩阵 \( A \) 就是单位矩阵 \( I_ n \)。 等距群的条件 \( M^T I_ n M = I_ n \) 就简化为： \[ M^T M = I_ n. \] 所有满足这个条件的 \( n \times n \) 实矩阵构成的群，称为 \( n \) 阶 正交群 （Orthogonal Group），记作 \( \mathrm{O}(n) \)。这个群中的矩阵就是我们在欧几里得空间中熟知的正交矩阵，它们代表的是保持向量点积（和长度）不变的线性变换，即旋转和反射。 第六步：推广与变体 等距群的概念可以推广到更一般的情形： 其他域 ：\( F \) 可以是复数域、有限域等。在不同的域上，等距群的结构会有很大差异。 非退化性 ：如果相伴的双线性型 \( B_ Q \) 是非退化的（即矩阵 \( A \) 可逆），那么等距群的性质更好研究。如果 \( B_ Q \) 是退化的，等距群的结构会更复杂。 特殊等距群 ：在正交群 \( \mathrm{O}(n) \) 中，行列式为 \( +1 \) 的矩阵构成一个子群，称为 特殊正交群 \( \mathrm{SO}(n) \)，它只包含旋转，而不包含反射。类似地，对于一般的 \( \mathrm{O}(Q) \)，我们也可以考虑其行列式为1的子群。 不定正交群 ：如果在实数域上，二次型 \( Q \) 不是正定的（例如在狭义相对论中出现的闵可夫斯基度规），其等距群称为 不定正交群 ，记作 \( \mathrm{O}(p, q) \)，其中 \( (p, q) \) 是 \( Q \) 的符号（正、负特征值的个数）。 总结来说，二次型的等距群是研究该二次型对称性的基本代数对象，它将几何中的“刚体运动”概念推广到了抽象的向量空间和二次型上。