可测函数序列的等度可测性与一致可积性的关系 我们先从基本概念开始。一个可测函数序列 {f_ n} 被称为 等度可测的 ，如果对任意 ε > 0，存在紧集 K 使得在每个 f_ n 的域外（即补集上），所有函数的测度都很小：sup_ n μ({x: |f_ n(x)| > M} ∩ K^c) < ε 对某个 M > 0。这描述了函数值"集中"在紧集上的均匀性。 接下来， 一致可积性 要求：对任意 ε > 0，存在 δ > 0 使得对任意可测集 A 满足 μ(A) < δ，有 sup_ n ∫_ A |f_ n| dμ < ε。这控制了函数在小区间上的积分值。 两者的关系在于：在有限测度空间且函数序列一致有界（即存在 M 使 |f_ n| ≤ M）时，等度可测性直接蕴含一致可积性。因为一致有界性允许我们取 δ = ε/M 来满足一致可积条件。 若无一致有界性，关系更微妙。等度可测性确保函数值不会"逃逸"到无穷远，但一致可积性还需控制大函数值在任意小集上的积分。此时，若附加条件如 等度可积性 （即 lim_ {M→∞} sup_ n ∫_ {|f_ n|>M} |f_ n| dμ = 0）成立，则等度可测性可与一致可积性等价。等度可积性阻止了大值在积分中的主导作用。 总结：在有限测度空间，等度可测性通过控制函数支撑的集中性，与一致可积性形成互补；前者关注"在哪里函数值大"，后者关注"大函数值如何影响积分"。附加有界性或等度可积性条件时，两者可互推。