平行四边形的欧拉定理在四维空间中的推广 首先，我们回顾平面几何中平行四边形的欧拉定理：对于任意平行四边形，其四边的平方和等于两条对角线的平方和。即，若平行四边形边长为a和b，对角线长为d₁和d₂，则有 2a² + 2b² = d₁² + d₂²。 在三维空间中，此定理可以推广到平行六面体。对于一个三维的平行六面体，其所有棱（边）的平方和等于所有空间对角线（连接不在同一面上的两个顶点的线段）的平方和。具体而言，若棱长分别为a, b, c，则四条空间对角线的平方和等于4(a² + b² + c²)。 现在，我们将此概念推广到四维空间。在四维欧几里得空间中，我们考虑一个四维的“平行体”，通常称为超平行体或四维平行六面体。它可以被定义为一组由四个线性无关的向量张成的图形。其顶点可以通过这四个向量的线性组合（系数为0或1）得到。 这个四维平行体有16个顶点。其“边”是连接两个顶点且仅在一个坐标（向量）方向上相差一个单位向量的线段。这样的边总共有32条。其“二维面对角线”是连接在同一二维面上的两个顶点，且在该面上是对角线的线段。其“三维面对角线”是连接在同一三维面上的两个顶点，且在该三维面上是空间对角线的线段。最后，其“四维体对角线”（或称完全对角线）是连接两个完全相对的顶点（即其坐标向量之和为(1,1,1,1)的顶点）的线段。这样的完全对角线有8条。 推广的欧拉定理在四维空间中的表述为：这个四维平行体的所有棱的平方和，等于其所有二维面对角线的平方和，等于其所有三维面对角线的平方和，也等于其所有四维体对角线的平方和。更精确地说，若生成此四维平行体的四个边向量两两正交且长度分别为a, b, c, d（即是一个四维超长方体），则可以证明： 所有棱的平方和 = 32 * (a² + b² + c² + d²)/4? 让我们详细计算： 总共有32条棱。每个方向的棱有8条（因为每个基向量方向，有2^3=8条棱与之平行）。所以棱的平方和 = 8a² + 8b² + 8c² + 8d² = 8(a²+b²+c²+d²)。 四维体对角线：有8条。每条体对角线的长度平方为 a² + b² + c² + d²。所以其平方和 = 8(a²+b²+c²+d²)。 因此，在这个特殊（超长方体）情况下，棱的平方和等于体对角线的平方和。 对于更一般的由四个非正交向量张成的四维平行六面体，这个关系依然成立，但表达形式更为复杂，会涉及到向量内积。其核心几何意义在于，这个恒等式反映了四维空间中距离平方和的一种守恒关系，是平行四边形欧拉定理在高维空间中的深刻体现，与度量几何的基本性质密切相关。