模的Gorenstein内射包 我们先从最基础的概念开始。模的“内射包”是模论中一个核心概念。给定一个模 \(M\)，它的内射包 \(E(M)\) 是一个满足以下条件的最小内射模： \(M\) 可以嵌入到 \(E(M)\) 中（即存在一个单同态 \(M \hookrightarrow E(M)\)）。 如果 \(M \hookrightarrow I\) 是到另一个内射模 \(I\) 的嵌入，那么 \(E(M)\) 也可以嵌入到 \(I\) 中，并且这个嵌入使得整个图是交换的。直观上，\(E(M)\) 是包含 \(M\) 的“最小”内射模。 接下来，我们引入“Gorenstein内射模”的概念。一个模 \(G\) 被称为Gorenstein内射模，如果存在一个内射模的正合序列 \[ \cdots \to I_ 1 \to I_ 0 \to I_ {-1} \to I_ {-2} \to \cdots \] 使得 \(G = \operatorname{Ker}(I_ 0 \to I_ {-1})\)，并且对任意内射模 \(E\)，函子 \(\operatorname{Hom}(E, -)\) 保持这个序列的正合性。简单来说，Gorenstein内射模可以看作是“无限”内射模的“核”，它在同调代数中具有比普通内射模更优良的性质，尤其是在环不是正则环（例如Gorenstein环）的情况下。 现在，我们将这两个概念结合起来。模 \(M\) 的“Gorenstein内射包”是一个满足以下条件的模 \(G(M)\)： \(G(M)\) 是一个Gorenstein内射模。 存在一个单同态 \(\phi: M \hookrightarrow G(M)\)。 （万有性质）对于任意一个单同态 \(\psi: M \hookrightarrow G'\)，其中 \(G'\) 是Gorenstein内射模，存在一个单同态 \(g: G(M) \hookrightarrow G'\)，使得 \(g \circ \phi = \psi\)。这意味着 \(G(M)\) 是包含 \(M\) 的“最小”Gorenstein内射模。 Gorenstein内射包的存在性是一个非平凡的问题。它通常要求基环 \(R\) 是相干的（特别是诺特环），并且具有有限的自内射维数（即是一个Gorenstein环）。在这些条件下，可以证明每个模都存在唯一的Gorenstein内射包。 Gorenstein内射包在同调代数，特别是Gorenstein同调代数理论中扮演着重要角色。它被用来定义和研究模的Gorenstein内射维数，并用于建立Gorenstein环上的对偶理论，这推广了经典正则环上的理论。