数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十七）
字数 2698 2025-12-04 15:18:14

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十七）

本次讲解将深入探讨变分原理与哈密顿-雅可比理论在可积系统中的应用，特别是作用量-角变量的引入及其意义。这是从有限自由度系统向经典可积系统理论过渡的核心概念。

第一步：可积性的经典定义（刘维尔意义）

  1. 系统描述：考虑一个具有 \(n\) 个自由度的哈密顿系统，其哈密顿量为 \(H(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)\)，其中 \(q_i\) 是广义坐标，\(p_i\) 是共轭动量。
  2. 可积性条件：如果存在 \(n\) 个相互独立的、对合的首积分（运动常数）\(I_1, I_2, \dots, I_n\)，即它们满足：
  • 独立性：函数 \(I_1, \dots, I_n\) 在相空间中是函数独立的（它们的梯度线性无关）。
  • 对合性：它们两两泊松括号为零，\(\{I_i, I_j\} = 0\) 对于所有 \(i, j\)。
    并且哈密顿量 \(H\) 可以是这些首积分的一个函数（通常取 \(I_1 = H\)），则该系统被称为刘维尔可积的。

第二步：作用量变量的引入

  1. 动机：对于可积系统，由于存在 \(n\) 个运动常数，系统的运动被限制在相空间中的一个 \(n\) 维环面上。我们希望找到一组新的正则变量 \((J_1, \dots, J_n, \theta_1, \dots, \theta_n)\)，使得：
  • 新的动量 \(J_i\) 是运动常数（只依赖于 \(I_i\)）。
  • 新的坐标 \(\theta_i\)（称为角变量）是时间的线性函数，即 \(\dot{\theta}_i = \omega_i(J)\) = 常数。
    • 这样的变量变换将使运动方程变得极其简单。
  1. 定义：作用量变量 \(J_k\) 通过沿相空间中可缩环路的积分来定义：
    \(
    J_k = \frac{1}{2\pi} \oint_{\gamma_k} \sum_{i=1}^n p_i dq_i
    \)
    其中：
  • \(\gamma_k\) 是嵌入在 \(n\) 维不变环面中的 \(n\) 个基本环路之一。
  • 积分是在 \(q\) 空间中，保持所有运动常数 \(I_i\) 固定不变的情况下进行的。
  • \(p_i\) 需要通过运动常数 \(I\) 和坐标 \(q\) 表示出来（这通常依赖于分离变量技术）。
  1. 关键性质：
  • \(J_k\) 是运动常数，因为它们只依赖于运动常数 \(I_i\)。
    • 它们具有能量的量纲 × 时间（与普朗克常数量纲相同）。
  • 对于周期运动，\(J_k\) 量化了相空间中的“面积”。

第三步：角变量与频率

  1. 生成函数：从原始变量 \((q, p)\) 到新变量 \((J, \theta)\) 的变换是典则变换。这个变换可以由一个第二类生成函数 \(S(q, J)\) 产生，这个 \(S\) 正是哈密顿特征函数（在 \(H\) 不显含时间的情况下）。
  • 动量由 \(p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}\) 给出。
  • 角变量由 \(\theta_i = \frac{\partial S}{\partial J_i}\) 定义。

  1. 角变量的运动方程：在新的变量下，哈密顿量只依赖于作用量变量，\(H = H(J_1, \dots, J_n)\)。哈密顿方程变为：
    \(
    \dot{J}_k = -\frac{\partial H}{\partial \theta_k} = 0, \quad \dot{\theta}_k = \frac{\partial H}{\partial J_k} = \omega_k(J)
    \)
    其中 \(\omega_k(J)\) 是常数（因为 \(J\) 是常数）。因此，角变量随时间线性变化：
    \(
    \theta_k(t) = \omega_k t + \theta_k(0)
    \)

  2. 物理意义：\(\omega_k\) 是系统在第 \(k\) 个自由度上的振荡频率。角变量 \(\theta_k\) 模 \(2\pi\) 刻画了系统在不变环面上的位置。

第四步：哈密顿-雅可比方程的作用

  1. 方程形式：哈密顿特征函数 \(S(q, J)\) 是哈密顿-雅可比方程
    \(
    H\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}\right) = E(J_1, \dots, J_n)
    \)
    的完全解。这里的“常数”被取为作用量变量 \(J_i\)。

  2. 可积性与变量分离：一个系统是可积的，通常意味着其哈密顿-雅可比方程是可分离变量的。即，解 \(S\) 可以写成 \(S = \sum_{i=1}^n S_i(q_i; J_1, \dots, J_n)\) 的形式。这种可分离性直接导致了作用量变量的定义 \(J_k = \frac{1}{2\pi} \oint p_k(q_k; J) dq_k\)。

第五步：意义与应用

  1. 运动方程的“求解”：通过作用量-角变量变换，我们实际上“求解”了可积系统的运动。系统的轨迹被明确地描述为在环面上的拟周期运动。
  2. 微扰理论的基础：对于近可积系统（可积系统加一个小扰动），作用量-角变量是构建卡姆（KAM）理论和庞加莱-冯泽普（Poincaré-Von Zeipel）微扰法的出发点。作用量变量在未受扰系统中是常数，在微扰下变化缓慢。
  3. 量子化：在旧量子论和量子力学中，作用量变量的量子化条件（\(J_k = n_k \hbar\)）是玻尔-索末菲量子化规则的核心。
  4. 混沌的判据：对于不可积系统，作用量-角变量无法全局定义，这标志着混沌运动的出现。

总结：
作用量-角变量 \((J, \theta)\) 的引入，是哈密顿力学和哈密顿-雅可比理论对可积系统分析的顶峰。它将复杂的运动简化为环面上的匀速圆周运动，揭示了这类系统深刻的几何结构，并为研究更复杂的近可积和不可积系统提供了不可或缺的工具。

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十七） 本次讲解将深入探讨变分原理与哈密顿-雅可比理论在可积系统中的应用，特别是 作用量-角变量 的引入及其意义。这是从有限自由度系统向经典可积系统理论过渡的核心概念。 第一步：可积性的经典定义（刘维尔意义） 系统描述 ：考虑一个具有 \( n \) 个自由度的哈密顿系统，其哈密顿量为 \( H(q_ 1, \dots, q_ n, p_ 1, \dots, p_ n) \)，其中 \( q_ i \) 是广义坐标，\( p_ i \) 是共轭动量。 可积性条件 ：如果存在 \( n \) 个相互独立的、对合的首积分（运动常数）\( I_ 1, I_ 2, \dots, I_ n \)，即它们满足： 独立性 ：函数 \( I_ 1, \dots, I_ n \) 在相空间中是函数独立的（它们的梯度线性无关）。 对合性 ：它们两两泊松括号为零，\( \{I_ i, I_ j\} = 0 \) 对于所有 \( i, j \)。 并且哈密顿量 \( H \) 可以是这些首积分的一个函数（通常取 \( I_ 1 = H \)），则该系统被称为 刘维尔可积的 。 第二步：作用量变量的引入 动机 ：对于可积系统，由于存在 \( n \) 个运动常数，系统的运动被限制在相空间中的一个 \( n \) 维环面上。我们希望找到一组新的正则变量 \( (J_ 1, \dots, J_ n, \theta_ 1, \dots, \theta_ n) \)，使得： 新的动量 \( J_ i \) 是运动常数（只依赖于 \( I_ i \)）。 新的坐标 \( \theta_ i \)（称为角变量）是时间的线性函数，即 \( \dot{\theta}_ i = \omega_ i(J) \) = 常数。 这样的变量变换将使运动方程变得极其简单。 定义 ：作用量变量 \( J_ k \) 通过沿相空间中可缩环路的积分来定义： \( J_ k = \frac{1}{2\pi} \oint_ {\gamma_ k} \sum_ {i=1}^n p_ i dq_ i \) 其中： \( \gamma_ k \) 是嵌入在 \( n \) 维不变环面中的 \( n \) 个基本环路之一。 积分是在 \( q \) 空间中，保持所有运动常数 \( I_ i \) 固定不变的情况下进行的。 \( p_ i \) 需要通过运动常数 \( I \) 和坐标 \( q \) 表示出来（这通常依赖于分离变量技术）。 关键性质 ： \( J_ k \) 是运动常数，因为它们只依赖于运动常数 \( I_ i \)。 它们具有能量的量纲 × 时间（与普朗克常数量纲相同）。 对于周期运动，\( J_ k \) 量化了相空间中的“面积”。 第三步：角变量与频率 生成函数 ：从原始变量 \( (q, p) \) 到新变量 \( (J, \theta) \) 的变换是典则变换。这个变换可以由一个第二类生成函数 \( S(q, J) \) 产生，这个 \( S \) 正是 哈密顿特征函数 （在 \( H \) 不显含时间的情况下）。 动量由 \( p_ i = \frac{\partial S}{\partial q_ i} \) 给出。 角变量由 \( \theta_ i = \frac{\partial S}{\partial J_ i} \) 定义。 角变量的运动方程 ：在新的变量下，哈密顿量只依赖于作用量变量，\( H = H(J_ 1, \dots, J_ n) \)。哈密顿方程变为： \( \dot{J}_ k = -\frac{\partial H}{\partial \theta_ k} = 0, \quad \dot{\theta}_ k = \frac{\partial H}{\partial J_ k} = \omega_ k(J) \) 其中 \( \omega_ k(J) \) 是常数（因为 \( J \) 是常数）。因此，角变量随时间线性变化： \( \theta_ k(t) = \omega_ k t + \theta_ k(0) \) 物理意义 ：\( \omega_ k \) 是系统在第 \( k \) 个自由度上的振荡频率。角变量 \( \theta_ k \) 模 \( 2\pi \) 刻画了系统在不变环面上的位置。 第四步：哈密顿-雅可比方程的作用 方程形式 ：哈密顿特征函数 \( S(q, J) \) 是哈密顿-雅可比方程 \( H\left(q_ 1, \dots, q_ n, \frac{\partial S}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_ n}\right) = E(J_ 1, \dots, J_ n) \) 的完全解。这里的“常数”被取为作用量变量 \( J_ i \)。 可积性与变量分离 ：一个系统是可积的，通常意味着其哈密顿-雅可比方程是可分离变量的。即，解 \( S \) 可以写成 \( S = \sum_ {i=1}^n S_ i(q_ i; J_ 1, \dots, J_ n) \) 的形式。这种可分离性直接导致了作用量变量的定义 \( J_ k = \frac{1}{2\pi} \oint p_ k(q_ k; J) dq_ k \)。 第五步：意义与应用 运动方程的“求解” ：通过作用量-角变量变换，我们实际上“求解”了可积系统的运动。系统的轨迹被明确地描述为在环面上的拟周期运动。 微扰理论的基础 ：对于近可积系统（可积系统加一个小扰动），作用量-角变量是构建卡姆（KAM）理论和庞加莱-冯泽普（Poincaré-Von Zeipel）微扰法的出发点。作用量变量在未受扰系统中是常数，在微扰下变化缓慢。 量子化 ：在旧量子论和量子力学中，作用量变量的量子化条件（\( J_ k = n_ k \hbar \)）是玻尔-索末菲量子化规则的核心。 混沌的判据 ：对于不可积系统，作用量-角变量无法全局定义，这标志着混沌运动的出现。 总结 ： 作用量-角变量 \( (J, \theta) \) 的引入，是哈密顿力学和哈密顿-雅可比理论对可积系统分析的顶峰。它将复杂的运动简化为环面上的匀速圆周运动，揭示了这类系统深刻的几何结构，并为研究更复杂的近可积和不可积系统提供了不可或缺的工具。