数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十六）

字数 2531 2025-12-04 14:45:20

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十六）

步骤1：回顾哈密顿-雅可比方程的核心思想

哈密顿-雅可比理论的核心是将力学系统的运动问题转化为一个偏微分方程的求解问题。哈密顿-雅可比方程的形式为：

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_1, \dots, q_n; \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}; t\right) = 0, \]

其中 \(S(q, t)\) 称为哈密顿主函数，\(H\) 是系统的哈密顿量。该方程的解 \(S\) 通过其偏导数直接给出系统的运动轨迹（如动量 \(p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}\)）。此前我们讨论了完全解的存在性、特征线法与运动轨迹的等价性，以及作用量函数在相空间中的几何意义。

步骤2：引入作用量-角变量理论的基本动机

对于周期性运动（如振动或旋转系统），系统的运动轨迹在相空间中形成闭合曲线。此时，若直接使用广义坐标 \(q\) 和动量 \(p\)，哈密顿方程可能因坐标的周期性而显得复杂。作用量-角变量理论通过引入一组新变量 \((J, \theta)\)，其中：

\(J\) 是作用量变量（描述运动的幅度，为常数），
\(\theta\) 是角变量（描述周期性相位，随时间线性变化），
从而简化周期系统的分析。该理论的核心优势在于：

哈密顿量仅依赖于作用量变量 \(H = H(J)\)，运动方程被极大简化。
为量子化条件提供经典基础（如玻尔-索末菲量子化条件）。

步骤3：作用量变量的定义与计算

考虑一个一维周期系统，其哈密顿量 \(H(p, q)\) 不显含时间。系统的作用量变量 \(J\) 定义为相空间中闭合轨道包围面积的 \(1/2\pi\) 倍：

\[J = \frac{1}{2\pi} \oint p \, dq, \]

其中积分沿一个完整运动周期进行。例如：

谐振子：\(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 q^2\)，相轨迹为椭圆，面积为 \(\pi p_{\text{max}} q_{\text{max}}\)。通过计算可得 \(J = \frac{E}{\omega}\)，从而哈密顿量写为 \(H(J) = \omega J\)。

对于多自由度可分离系统，每个独立周期自由度对应一个作用量变量：

\[J_k = \frac{1}{2\pi} \oint p_k \, dq_k. \]

步骤4：角变量的引入与运动方程

通过正则变换，将原变量 \((q, p)\) 变换为作用量-角变量 \((J, \theta)\)。变换由生成函数 \(S(q, J)\) 实现（注意此处 \(S\) 是哈密顿主函数的另一种形式），满足：

\[p = \frac{\partial S}{\partial q}, \quad \theta = \frac{\partial S}{\partial J}. \]

在新变量下，哈密顿量仅依赖于 \(J\)，即 \(H = H(J)\)。运动方程变为：

\[\dot{J_k} = -\frac{\partial H}{\partial \theta_k} = 0, \quad \dot{\theta_k} = \frac{\partial H}{\partial J_k} = \omega_k(J), \]

其中 \(\omega_k\) 为第 \(k\) 个自由度的频率。角变量随时间线性增长：\(\theta_k(t) = \omega_k t + \theta_k(0)\)。

步骤5：周期系统的频率与可积性条件

若系统存在 \(n\) 个独立的作用量变量 \(J_1, \dots, J_n\)，且哈密顿量可写为 \(H(J_1, \dots, J_n)\)，则系统称为可积系统。每个角变量的频率由 \(\omega_k = \frac{\partial H}{\partial J_k}\) 给出。

非简并系统：频率比 \(\omega_k / \omega_l\) 为无理数，相空间运动是准周期的，轨迹稠密覆盖环面。
简并系统：频率比有理数相关，运动退化为低维环面。

步骤6：作用量-角变量与哈密顿-雅可比理论的联系

作用量-角变量理论可视为哈密顿-雅可比方程在周期系统中的应用。哈密顿主函数 \(S(q, J)\) 是哈密顿-雅可比方程的解，其偏导数 \(\frac{\partial S}{\partial J_k}\) 定义了角变量 \(\theta_k\)。这一联系体现了：

几何化运动描述：相空间中的环面结构对应作用量变量的守恒。
全局性分析：角变量处理周期性坐标的多值性问题，避免局部坐标的奇异性。

步骤7：典型应用示例——开普勒问题

在平方反比势场（如行星轨道）中，径向和角向运动均为周期性的。作用量变量定义为：

角向作用量 \(J_\phi = \oint p_\phi \, d\phi = 2\pi L_z\)（轨道角动量），
径向作用量 \(J_r = \oint p_r \, dr\)。
通过计算可得哈密顿量 \(H = -\frac{m k^2}{2(J_r + J_\phi)^2}\)，频率 \(\omega_r = \omega_\phi\)（简并性对应闭合轨道）。此结果直接导出玻尔原子模型中能级的简并性。

总结

作用量-角变量理论通过正则变换将周期系统的运动简化为线性演化，揭示了相空间环面结构与可积性的深刻联系。下一步可讨论该理论在摄动法（如克罗莫夫模型）和量子化中的应用。

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十六）步骤1：回顾哈密顿-雅可比方程的核心思想哈密顿-雅可比理论的核心是将力学系统的运动问题转化为一个偏微分方程的求解问题。哈密顿-雅可比方程的形式为： \[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_ 1, \dots, q_ n; \frac{\partial S}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_ n}; t\right) = 0, \] 其中 \( S(q, t) \) 称为哈密顿主函数，\( H \) 是系统的哈密顿量。该方程的解 \( S \) 通过其偏导数直接给出系统的运动轨迹（如动量 \( p_ i = \frac{\partial S}{\partial q_ i} \)）。此前我们讨论了完全解的存在性、特征线法与运动轨迹的等价性，以及作用量函数在相空间中的几何意义。步骤2：引入作用量-角变量理论的基本动机对于周期性运动（如振动或旋转系统），系统的运动轨迹在相空间中形成闭合曲线。此时，若直接使用广义坐标 \( q \) 和动量 \( p \)，哈密顿方程可能因坐标的周期性而显得复杂。作用量-角变量理论通过引入一组新变量 \((J, \theta)\)，其中： \( J \) 是作用量变量（描述运动的幅度，为常数）， \( \theta \) 是角变量（描述周期性相位，随时间线性变化），从而简化周期系统的分析。该理论的核心优势在于：哈密顿量仅依赖于作用量变量 \( H = H(J) \)，运动方程被极大简化。为量子化条件提供经典基础（如玻尔-索末菲量子化条件）。步骤3：作用量变量的定义与计算考虑一个一维周期系统，其哈密顿量 \( H(p, q) \) 不显含时间。系统的作用量变量 \( J \) 定义为相空间中闭合轨道包围面积的 \( 1/2\pi \) 倍： \[ J = \frac{1}{2\pi} \oint p \, dq, \] 其中积分沿一个完整运动周期进行。例如：谐振子：\( H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 q^2 \)，相轨迹为椭圆，面积为 \( \pi p_ {\text{max}} q_ {\text{max}} \)。通过计算可得 \( J = \frac{E}{\omega} \)，从而哈密顿量写为 \( H(J) = \omega J \)。对于多自由度可分离系统，每个独立周期自由度对应一个作用量变量： \[ J_ k = \frac{1}{2\pi} \oint p_ k \, dq_ k. \] 步骤4：角变量的引入与运动方程通过正则变换，将原变量 \((q, p)\) 变换为作用量-角变量 \((J, \theta)\)。变换由生成函数 \( S(q, J) \) 实现（注意此处 \( S \) 是哈密顿主函数的另一种形式），满足： \[ p = \frac{\partial S}{\partial q}, \quad \theta = \frac{\partial S}{\partial J}. \] 在新变量下，哈密顿量仅依赖于 \( J \)，即 \( H = H(J) \)。运动方程变为： \[ \dot{J_ k} = -\frac{\partial H}{\partial \theta_ k} = 0, \quad \dot{\theta_ k} = \frac{\partial H}{\partial J_ k} = \omega_ k(J), \] 其中 \( \omega_ k \) 为第 \( k \) 个自由度的频率。角变量随时间线性增长：\( \theta_ k(t) = \omega_ k t + \theta_ k(0) \)。步骤5：周期系统的频率与可积性条件若系统存在 \( n \) 个独立的作用量变量 \( J_ 1, \dots, J_ n \)，且哈密顿量可写为 \( H(J_ 1, \dots, J_ n) \)，则系统称为可积系统。每个角变量的频率由 \( \omega_ k = \frac{\partial H}{\partial J_ k} \) 给出。非简并系统：频率比 \( \omega_ k / \omega_ l \) 为无理数，相空间运动是准周期的，轨迹稠密覆盖环面。简并系统：频率比有理数相关，运动退化为低维环面。步骤6：作用量-角变量与哈密顿-雅可比理论的联系作用量-角变量理论可视为哈密顿-雅可比方程在周期系统中的应用。哈密顿主函数 \( S(q, J) \) 是哈密顿-雅可比方程的解，其偏导数 \( \frac{\partial S}{\partial J_ k} \) 定义了角变量 \( \theta_ k \)。这一联系体现了：几何化运动描述：相空间中的环面结构对应作用量变量的守恒。全局性分析：角变量处理周期性坐标的多值性问题，避免局部坐标的奇异性。步骤7：典型应用示例——开普勒问题在平方反比势场（如行星轨道）中，径向和角向运动均为周期性的。作用量变量定义为：角向作用量 \( J_ \phi = \oint p_ \phi \, d\phi = 2\pi L_ z \)（轨道角动量），径向作用量 \( J_ r = \oint p_ r \, dr \)。通过计算可得哈密顿量 \( H = -\frac{m k^2}{2(J_ r + J_ \phi)^2} \)，频率 \( \omega_ r = \omega_ \phi \)（简并性对应闭合轨道）。此结果直接导出玻尔原子模型中能级的简并性。总结作用量-角变量理论通过正则变换将周期系统的运动简化为线性演化，揭示了相空间环面结构与可积性的深刻联系。下一步可讨论该理论在摄动法（如克罗莫夫模型）和量子化中的应用。