曲面的共形映射与共形不变量（续）
字数 2493 2025-12-04 14:23:32

曲面的共形映射与共形不变量（续）

我们继续深入探讨曲面的共形映射，特别是其与曲面的内在几何不变量之间的关系。本次将聚焦于一个核心概念：共形映射如何影响曲面的高斯曲率和平均曲率。

  1. 回顾与问题引入
    我们已经知道，共形映射是保持角度不变的映射。具体到曲面上，如果存在一个参数变换 \((u, v) \to (\tilde{u}, \tilde{v})\)，使得新的第一基本形式满足 \(\tilde{E} = \tilde{G} = \lambda(u,v) E\) 且 \(\tilde{F} = 0\)（或等价地，\(ds^2 = \lambda(u,v) (du^2 + dv^2)\)），那么这个变换是共形的，函数 \(\lambda(u,v)\) 称为共形因子。
    一个自然的问题是：既然共形映射“扭曲”了第一基本形式（通过伸缩因子 \(\lambda\)），那么它会对刻画曲面弯曲程度的曲率（如高斯曲率 \(K\) 和平均曲率 \(H\)）产生怎样的影响？

  2. 高斯曲率在共形映射下的变换规律
    高斯曲率 \(K\) 是曲面的一个内在几何量，这意味着它的值只依赖于第一基本形式本身。然而，这并不代表它在任意参数变换下都保持不变。当参数变换是共形映射时，高斯曲率会遵循一个特定的变换规律。
    设原曲面的第一基本形式为 \(ds^2 = E(du^2 + dv^2)\)（在正交参数下，\(F=0\)），高斯曲率为 \(K\)。
    经过共形映射后，新的第一基本形式为 \(d\tilde{s}^2 = \lambda(u,v) ds^2 = \lambda E (du^2 + dv^2)\)。
    在这种情况下，新的高斯曲率 \(\tilde{K}\) 与原高斯曲率 \(K\) 之间存在如下关系（非常重要）：

\[ \tilde{K} = \frac{1}{\lambda} \left( K - \frac{\Delta \ln \lambda}{2} \right) \]

其中，\(\Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2} + \frac{\partial^2}{\partial v^2}\) 是平面上的拉普拉斯算子。
这个公式告诉我们：

  • 高斯曲率在共形映射下不是不变量。新的高斯曲率 \(\tilde{K}\) 不仅依赖于原曲率 \(K\)，还强烈地依赖于共形因子 \(\lambda\) 及其二阶导数（体现在 \(\Delta \ln \lambda\) 项中）。
  • 这个公式是求解几何中许多问题的关键，例如，给定一个函数 \(\tilde{K}\)（目标曲率），我们可以通过求解这个关于 \(\lambda\) 的偏微分方程（称为预定曲率问题），来寻找一个共形映射，使得映射后的曲面具有指定的高斯曲率。

  1. 平均曲率在共形映射下的变换规律
    平均曲率 \(H\) 是一个外在几何量，它不仅依赖于第一基本形式，还依赖于曲面如何嵌入到三维空间中（即与第二基本形式有关）。因此，在一般的共形映射下，平均曲率的变化规律比高斯曲率更为复杂，没有一个像上面那样简洁统一的全局公式。
    然而，在一个非常重要的特殊情形下，平均曲率有明确的变化规律：当共形映射是三维空间 \(\mathbb{R}^3\) 本身的共形变换（例如，相似变换、球极投影等）时。
    设 \(f: M \to \mathbb{R}^3\) 是一个曲面，\(\phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) 是一个共形变换。那么，变换后的曲面 \(\tilde{f} = \phi \circ f\) 的平均曲率 \(\tilde{H}\) 与原曲面平均曲率 \(H\) 的关系，取决于变换 \(\phi\) 的具体形式。
    例如，如果 \(\phi\) 是一个相似变换（由缩放和平移、旋转组成），即 \(\phi(\mathbf{x}) = c \mathbf{R} \mathbf{x} + \mathbf{b}\)，其中 \(c > 0\) 是缩放因子，\(\mathbf{R}\) 是旋转矩阵，那么平均曲率按 \(\tilde{H} = H / c\) 变换。这是因为相似变换均匀地缩放了几何对象，曲率半径被缩放 \(c\) 倍，故曲率变为原来的 \(1/c\)。

  2. 共形不变量
    既然曲率本身在共形映射下会改变，那么什么是共形不变量？即，在共形映射下保持不变的量。

    • 角度：这是共形映射的定义本身所保证的最基本的不变量。任意两条曲线在交点处的夹角在映射前后不变。
    • 共形结构：这是一个更深刻的概念。我们可以认为，一个曲面在共形等价的意义下，由其“无穷小圆”的结构决定。任何共形映射都将无穷小圆映射为无穷小圆。因此，曲面的共形结构（即所有与其共形等价的度量的等价类）是一个共形不变量。
  • 某些曲率量的积分：虽然高斯曲率 \(K\) 的点值在共形映射下会变，但它的某种加权积分在紧致曲面（如球面、环面）上可能是拓扑不变量，从而在共形映射下也不变。一个著名的例子是高斯-博内定理，它将总高斯曲率 \(\iint_M K dA\) 与曲面的欧拉示性数联系起来，而欧拉示性数是一个拓扑不变量，在任何连续变形下都不变，自然在共形映射下也不变。

总结：本次讲解深化了对曲面共形映射的理解。关键点在于，共形映射通过一个共形因子 \(\lambda\) 改变了度量（第一基本形式），进而以一种由特定公式（\(\tilde{K} = \frac{1}{\lambda} (K - \frac{\Delta \ln \lambda}{2})\)）所刻画的方式改变了高斯曲率。平均曲率的变化则依赖于映射的具体形式。真正在共形映射下保持不变的是角度和曲面的共形结构本身。

曲面的共形映射与共形不变量（续） 我们继续深入探讨曲面的共形映射，特别是其与曲面的内在几何不变量之间的关系。本次将聚焦于一个核心概念： 共形映射如何影响曲面的高斯曲率和平均曲率 。 回顾与问题引入 我们已经知道，共形映射是保持角度不变的映射。具体到曲面上，如果存在一个参数变换 \( (u, v) \to (\tilde{u}, \tilde{v}) \)，使得新的第一基本形式满足 \( \tilde{E} = \tilde{G} = \lambda(u,v) E \) 且 \( \tilde{F} = 0 \)（或等价地，\( ds^2 = \lambda(u,v) (du^2 + dv^2) \)），那么这个变换是共形的，函数 \( \lambda(u,v) \) 称为 共形因子 。 一个自然的问题是：既然共形映射“扭曲”了第一基本形式（通过伸缩因子 \( \lambda \)），那么它会对刻画曲面弯曲程度的曲率（如高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \)）产生怎样的影响？ 高斯曲率在共形映射下的变换规律 高斯曲率 \( K \) 是曲面的一个 内在几何量 ，这意味着它的值只依赖于第一基本形式本身。然而，这并不代表它在任意参数变换下都保持不变。当参数变换是共形映射时，高斯曲率会遵循一个特定的变换规律。 设原曲面的第一基本形式为 \( ds^2 = E(du^2 + dv^2) \)（在正交参数下，\( F=0 \)），高斯曲率为 \( K \)。 经过共形映射后，新的第一基本形式为 \( d\tilde{s}^2 = \lambda(u,v) ds^2 = \lambda E (du^2 + dv^2) \)。 在这种情况下，新的高斯曲率 \( \tilde{K} \) 与原高斯曲率 \( K \) 之间存在如下关系（ 非常重要 ）： \[ \tilde{K} = \frac{1}{\lambda} \left( K - \frac{\Delta \ln \lambda}{2} \right) \] 其中，\( \Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2} + \frac{\partial^2}{\partial v^2} \) 是平面上的拉普拉斯算子。 这个公式告诉我们： 高斯曲率在共形映射下 不是 不变量。新的高斯曲率 \( \tilde{K} \) 不仅依赖于原曲率 \( K \)，还强烈地依赖于共形因子 \( \lambda \) 及其二阶导数（体现在 \( \Delta \ln \lambda \) 项中）。 这个公式是求解几何中许多问题的关键，例如，给定一个函数 \( \tilde{K} \)（目标曲率），我们可以通过求解这个关于 \( \lambda \) 的偏微分方程（称为 预定曲率问题 ），来寻找一个共形映射，使得映射后的曲面具有指定的高斯曲率。 平均曲率在共形映射下的变换规律 平均曲率 \( H \) 是一个 外在几何量 ，它不仅依赖于第一基本形式，还依赖于曲面如何嵌入到三维空间中（即与第二基本形式有关）。因此，在一般的共形映射下，平均曲率的变化规律比高斯曲率更为复杂，没有一个像上面那样简洁统一的全局公式。 然而，在一个非常重要的特殊情形下，平均曲率有明确的变化规律： 当共形映射是三维空间 \( \mathbb{R}^3 \) 本身的共形变换（例如，相似变换、球极投影等）时 。 设 \( f: M \to \mathbb{R}^3 \) 是一个曲面，\( \phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) 是一个共形变换。那么，变换后的曲面 \( \tilde{f} = \phi \circ f \) 的平均曲率 \( \tilde{H} \) 与原曲面平均曲率 \( H \) 的关系，取决于变换 \( \phi \) 的具体形式。 例如，如果 \( \phi \) 是一个 相似变换 （由缩放和平移、旋转组成），即 \( \phi(\mathbf{x}) = c \mathbf{R} \mathbf{x} + \mathbf{b} \)，其中 \( c > 0 \) 是缩放因子，\( \mathbf{R} \) 是旋转矩阵，那么平均曲率按 \( \tilde{H} = H / c \) 变换。这是因为相似变换均匀地缩放了几何对象，曲率半径被缩放 \( c \) 倍，故曲率变为原来的 \( 1/c \)。 共形不变量 既然曲率本身在共形映射下会改变，那么什么是 共形不变量 ？即，在共形映射下保持不变的量。 角度 ：这是共形映射的定义本身所保证的最基本的不变量。任意两条曲线在交点处的夹角在映射前后不变。 共形结构 ：这是一个更深刻的概念。我们可以认为，一个曲面在共形等价的意义下，由其“无穷小圆”的结构决定。任何共形映射都将无穷小圆映射为无穷小圆。因此，曲面的 共形结构 （即所有与其共形等价的度量的等价类）是一个共形不变量。 某些曲率量的积分 ：虽然高斯曲率 \( K \) 的点值在共形映射下会变，但它的某种加权积分在紧致曲面（如球面、环面）上可能是拓扑不变量，从而在共形映射下也不变。一个著名的例子是 高斯-博内定理 ，它将总高斯曲率 \( \iint_ M K dA \) 与曲面的欧拉示性数联系起来，而欧拉示性数是一个拓扑不变量，在任何连续变形下都不变，自然在共形映射下也不变。 总结 ：本次讲解深化了对曲面共形映射的理解。关键点在于，共形映射通过一个共形因子 \( \lambda \) 改变了度量（第一基本形式），进而以一种由特定公式（\( \tilde{K} = \frac{1}{\lambda} (K - \frac{\Delta \ln \lambda}{2}) \)）所刻画的方式改变了高斯曲率。平均曲率的变化则依赖于映射的具体形式。真正在共形映射下保持不变的是角度和曲面的共形结构本身。