遍历理论中的随机矩阵乘积与非一致双曲性 随机矩阵乘积的基本概念 随机矩阵乘积研究的是独立同分布的随机矩阵序列的乘积行为。设 \( \{A_ n\} \) 是一个随机矩阵序列（例如，每个 \( A_ n \) 取自某个紧群或可逆矩阵群），其乘积为 \( P_ n = A_ n A_ {n-1} \cdots A_ 1 \)。核心问题是分析 \( P_ n \) 的渐近性质，如增长速率（李雅普诺夫指数）、方向收敛性（奥斯eledets分解）以及与动力系统的关联。 非一致双曲性的定义 非一致双曲性是指系统的双曲性（即扩张与收缩方向）在相空间中非均匀分布，且可能随时间变化。对于随机矩阵乘积，这表现为： 李雅普诺夫指数均非零（即 \( \lambda_ 1 > \lambda_ 2 > \cdots > \lambda_ d \) 且无零指数）； 但扩张/收缩的强度可能依赖于随机路径（即矩阵序列的具体实现），且稳定/不稳定方向的角度可能非常小（非一致有界）。 奥斯eledets乘性遍历定理的作用 该定理是分析随机矩阵乘积的基石，它断言：对几乎每个随机序列，存在一个分解 \( \mathbb{R}^d = E_ 1 \oplus E_ 2 \oplus \cdots \oplus E_ k \)，使得向量在子空间 \( E_ i \) 上的伸缩速率由李雅普诺夫指数 \( \lambda_ i \) 控制。非一致双曲性要求所有 \( \lambda_ i \neq 0 \)，且子空间 \( E_ i \) 的角度可能随序列衰减（但非零）。 稳定与不稳定叶状结构的构造 在随机矩阵乘积的背景下，稳定叶状结构由“在长期迭代下收缩的向量方向”生成，而不稳定叶状结构对应扩张方向。由于非一致性，这些叶状结构可能不是光滑的，而是仅可测的。关键工具是奥斯eledets分解提供的可测线丛（measurable linear bundles）。 绝对连续性与不变测度 对于非一致双曲随机矩阵乘积，稳定/不稳定叶状结构的绝对连续性（即叶状结构间的holonomy映射保持测度零集）是核心性质。这允许构造SRB测度（物理测度），并证明系统的遍历性。随机版本的金茨韦德-拉封绝对连续性定理在此起关键作用。 应用：随机动力系统的稳定性 非一致双曲随机矩阵乘积的刚性结果（如李雅普诺夫谱的刚性）可用于研究随机动力系统的结构稳定性。例如，若随机矩阵乘积的小扰动不改变李雅普诺夫指数，则系统在随机意义下稳定。 与随机矩阵刚性理论的联系 该方向与“随机矩阵的刚性”密切相关：在特定群（如 \( \mathrm{SL}(d, \mathbb{R}) \)）上，随机矩阵乘积的李雅普诺夫指数可能完全由群的表示理论决定，从而在随机环境中呈现代数刚性。