数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十四）
字数 4099 2025-12-04 12:05:14

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十四）

本次讲解将深入探讨哈密顿-雅可比方程的可分性理论，这是该理论在求解具体物理系统时的核心工具。

第一步：哈密顿-雅可比方程回顾与可分离性的基本概念

首先，我们回顾哈密顿-雅可比方程的形式。对于一个有 \(n\) 个自由度的系统，其哈密顿函数为 \(H(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n, t)\)，对应的哈密顿-雅可比方程是一个关于主函数 \(S\) 的一阶非线性偏微分方程：

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}, t\right) = 0 \]

其中，\(p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}\)。

可分离性是指，我们能否通过一个变量分离的假设，将这个 \(n\) 个变量的偏微分方程，简化为 \(n\) 个常微分方程来求解。如果能找到一组特定的坐标 \((q_1, q_2, \dots, q_n)\) 和一个特定的函数形式，使得主函数 \(S\) 可以写成如下形式：

\[S = S_1(q_1; \alpha_1, \dots, \alpha_n) + S_2(q_2; \alpha_1, \dots, \alpha_n) + \dots + S_n(q_n; \alpha_1, \dots, \alpha_n) - Et \]

（对于能量 \(E\) 守恒的系统，其中 \(-Et\) 是时间分离项），或者更一般地，每个 \(S_i\) 仅依赖于一个坐标 \(q_i\) 和 \(n\) 个积分常数 \(\alpha_i\)，那么我们就说哈密顿-雅可比方程在此坐标系下是可分离的。

第二步：可分离性的条件——斯图克尔定理

在什么条件下哈密顿-雅可比方程是可分离的呢？对于一类非常重要的系统——自然系统（其哈密顿量为 \(H = T + V\)，其中动能 \(T\) 是动量的二次齐次函数，势能 \(V\) 仅依赖于坐标），可分离性的问题由斯图克尔定理给出了一般性解答。

该定理指出，在某个坐标系 \((q^1, \dots, q^n)\) 下，哈密顿-雅可比方程可分离的充分必要条件是同时满足以下两点：

  1. 度规张量的可分离性：系统的动能项（即度规张量）必须具有特定的形式。通常，这要求坐标是共焦坐标或可分离坐标，使得动能 \(T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} g^{ij}(q) p_i p_j\) 中的矩阵 \((g^{ij})\) 是对角矩阵，且其逆矩阵 \((g_{ij})\)（配置空间的度规）满足所谓的“斯图克尔形式”。

  2. 势能的可分离性：势能函数 \(V(q)\) 必须可以写成与度规结构相容的可分离形式，即 \(V(q) = \sum_{i=1}^n V_i(q^i)\)，其中每个 \(V_i\) 仅依赖于一个坐标 \(q^i\)。

当这些条件满足时，我们可以通过分离变量法来求解哈密顿-雅可比方程。

第三步：分离变量法的步骤（以守恒系统为例）

假设系统是保守的，即 \(H = E\) = 常数。我们设主函数为 \(S(q, t) = W(q) - Et\)，其中 \(W\) 称为哈密顿特征函数。则哈密顿-雅可比方程变为：

\[H\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial W}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial W}{\partial q_n}\right) = E \]

现在，我们做可分离性假设：假设在某个坐标系下，\(W\) 可以完全分离变量：

\[W(q_1, q_2, \dots, q_n) = W_1(q_1) + W_2(q_2) + \dots + W_n(q_n) \]

将这个形式代入上面的方程。由于方程必须对所有 \(q_i\) 成立，而每一项 \(W_i'(q_i)\) 只依赖于一个变量，这迫使原偏微分方程分解为 \(n\) 个常微分方程。通常，我们会引入 \(n\) 个分离常数 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\)，并且满足 \(\alpha_1 = E\)。

例如，对于一个二维问题，可分离的方程可能具有如下形式：

\[f_1(q_1) \left( \frac{dW_1}{dq_1} \right)^2 + V_1(q_1) + f_2(q_2) \left( \frac{dW_2}{dq_2} \right)^2 + V_2(q_2) = E \]

我们可以将其 rearranged 为：

\[f_1(q_1) (W_1')^2 + V_1(q_1) - E = - [f_2(q_2) (W_2')^2 + V_2(q_2)] \]

这个等式的左边仅是 \(q_1\) 的函数，右边仅是 \(q_2\) 的函数。要使它对所有 \(q_1, q_2\) 都成立，两边必须等于同一个常数，记为 \(-\alpha_2\)。于是我们得到两个常微分方程：

\[f_1(q_1) \left( \frac{dW_1}{dq_1} \right)^2 + V_1(q_1) = E - \alpha_2 \]

\[ f_2(q_2) \left( \frac{dW_2}{dq_2} \right)^2 + V_2(q_2) = \alpha_2 \]

这样就成功地将一个偏微分方程分离为两个常微分方程。

第四步：可分离系统的例子——中心力场问题

一个经典的例子是三维空间中的中心力场问题。在笛卡尔坐标下，由于势能 \(V(r)\) 依赖于 \(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)，哈密顿-雅可比方程不可分离。但转换到球坐标系 \((r, \theta, \phi)\) 后，该系统变得可分离。

系统的哈密顿量为：

\[H = \frac{1}{2m} \left( p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\phi^2}{r^2 \sin^2\theta} \right) + V(r) \]

对应的哈密顿-雅可比方程（对于特征函数 \(W\)）为：

\[\frac{1}{2m} \left[ \left( \frac{\partial W}{\partial r} \right)^2 + \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial W}{\partial \theta} \right)^2 + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \left( \frac{\partial W}{\partial \phi} \right)^2 \right] + V(r) = E \]

我们假设 \(W(r, \theta, \phi) = W_r(r) + W_\theta(\theta) + W_\phi(\phi)\)。代入方程并乘以 \(2m r^2\) 得：

\[r^2 \left( \frac{dW_r}{dr} \right)^2 + 2m r^2 (E - V(r)) + \left( \frac{dW_\theta}{d\theta} \right)^2 + \frac{1}{\sin^2\theta} \left( \frac{dW_\phi}{d\phi} \right)^2 = 0 \]

注意到最后一项 \(\left( \frac{dW_\phi}{d\phi} \right)^2 / \sin^2\theta\) 只与 \(\phi\) 有关，而其他项与 \(\phi\) 无关。这迫使它必须是一个常数，记为 \(\alpha_\phi\)（对应角动量的z分量守恒）：

\[\frac{dW_\phi}{d\phi} = \sqrt{\alpha_\phi} \quad \Rightarrow \quad W_\phi = \sqrt{\alpha_\phi} , \phi \]

代入剩余方程，并类似地进行分离，最终得到三个常微分方程，分别只关于 \(r, \theta, \phi\)。这表明球坐标系是中心力场问题的可分离坐标系。

第五步：可分离性的意义与推广

哈密顿-雅可比方程的可分性理论具有深远意义：

  1. 提供了求解复杂动力系统的系统化方法：一旦找到一个可分离坐标系，求解复杂的偏微分方程就转化为求解一系列相对简单的常微分方程。
  2. 揭示了动力系统的内在对称性：可分离性与系统的守恒律和对称性密切相关。每一个成功的变量分离，通常对应着一个守恒量（如角动量）和一种对称性（如旋转对称性）。
  3. 与量子力学有深刻联系：在旧量子论中，索末菲和威尔逊将可分离性条件用于量子化规则（索末菲-威尔逊量子化条件）。在波动力学中，薛定谔方程的可分离性条件与哈密顿-雅可比方程的可分离性条件紧密相关。

此理论可以进一步推广到更一般的系统，包括有时变参数的系统、相对论系统等，是可积系统理论和经典力学近代发展的基石之一。

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十四） 本次讲解将深入探讨 哈密顿-雅可比方程的可分性理论 ，这是该理论在求解具体物理系统时的核心工具。 第一步：哈密顿-雅可比方程回顾与可分离性的基本概念 首先，我们回顾哈密顿-雅可比方程的形式。对于一个有 \( n \) 个自由度的系统，其哈密顿函数为 \( H(q_ 1, \dots, q_ n, p_ 1, \dots, p_ n, t) \)，对应的哈密顿-雅可比方程是一个关于主函数 \( S \) 的一阶非线性偏微分方程： \[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_ 1, \dots, q_ n, \frac{\partial S}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_ n}, t\right) = 0 \] 其中，\( p_ i = \frac{\partial S}{\partial q_ i} \)。 可分离性 是指，我们能否通过一个变量分离的假设，将这个 \( n \) 个变量的偏微分方程，简化为 \( n \) 个常微分方程来求解。如果能找到一组特定的坐标 \( (q_ 1, q_ 2, \dots, q_ n) \) 和一个特定的函数形式，使得主函数 \( S \) 可以写成如下形式： \[ S = S_ 1(q_ 1; \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) + S_ 2(q_ 2; \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) + \dots + S_ n(q_ n; \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) - Et \] （对于能量 \( E \) 守恒的系统，其中 \( -Et \) 是时间分离项），或者更一般地，每个 \( S_ i \) 仅依赖于一个坐标 \( q_ i \) 和 \( n \) 个积分常数 \( \alpha_ i \)，那么我们就说哈密顿-雅可比方程在此坐标系下是 可分离的 。 第二步：可分离性的条件——斯图克尔定理 在什么条件下哈密顿-雅可比方程是可分离的呢？对于一类非常重要的系统—— 自然系统 （其哈密顿量为 \( H = T + V \)，其中动能 \( T \) 是动量的二次齐次函数，势能 \( V \) 仅依赖于坐标），可分离性的问题由 斯图克尔定理 给出了一般性解答。 该定理指出，在某个坐标系 \( (q^1, \dots, q^n) \) 下，哈密顿-雅可比方程可分离的 充分必要条件 是同时满足以下两点： 度规张量的可分离性 ：系统的动能项（即度规张量）必须具有特定的形式。通常，这要求坐标是 共焦坐标 或 可分离坐标 ，使得动能 \( T = \frac{1}{2} \sum_ {i,j} g^{ij}(q) p_ i p_ j \) 中的矩阵 \( (g^{ij}) \) 是对角矩阵，且其逆矩阵 \( (g_ {ij}) \)（配置空间的度规）满足所谓的“斯图克尔形式”。 势能的可分离性 ：势能函数 \( V(q) \) 必须可以写成与度规结构相容的可分离形式，即 \( V(q) = \sum_ {i=1}^n V_ i(q^i) \)，其中每个 \( V_ i \) 仅依赖于一个坐标 \( q^i \)。 当这些条件满足时，我们可以通过 分离变量法 来求解哈密顿-雅可比方程。 第三步：分离变量法的步骤（以守恒系统为例） 假设系统是保守的，即 \( H = E \) = 常数。我们设主函数为 \( S(q, t) = W(q) - Et \)，其中 \( W \) 称为哈密顿特征函数。则哈密顿-雅可比方程变为： \[ H\left(q_ 1, \dots, q_ n, \frac{\partial W}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial W}{\partial q_ n}\right) = E \] 现在，我们做 可分离性假设 ：假设在某个坐标系下，\( W \) 可以完全分离变量： \[ W(q_ 1, q_ 2, \dots, q_ n) = W_ 1(q_ 1) + W_ 2(q_ 2) + \dots + W_ n(q_ n) \] 将这个形式代入上面的方程。由于方程必须对所有 \( q_ i \) 成立，而每一项 \( W_ i'(q_ i) \) 只依赖于一个变量，这迫使原偏微分方程分解为 \( n \) 个常微分方程。通常，我们会引入 \( n \) 个分离常数 \( \alpha_ 1, \alpha_ 2, \dots, \alpha_ n \)，并且满足 \( \alpha_ 1 = E \)。 例如，对于一个二维问题，可分离的方程可能具有如下形式： \[ f_ 1(q_ 1) \left( \frac{dW_ 1}{dq_ 1} \right)^2 + V_ 1(q_ 1) + f_ 2(q_ 2) \left( \frac{dW_ 2}{dq_ 2} \right)^2 + V_ 2(q_ 2) = E \] 我们可以将其 rearranged 为： \[ f_ 1(q_ 1) (W_ 1')^2 + V_ 1(q_ 1) - E = - [ f_ 2(q_ 2) (W_ 2')^2 + V_ 2(q_ 2) ] \] 这个等式的左边仅是 \( q_ 1 \) 的函数，右边仅是 \( q_ 2 \) 的函数。要使它对所有 \( q_ 1, q_ 2 \) 都成立，两边必须等于同一个常数，记为 \( -\alpha_ 2 \)。于是我们得到两个常微分方程： \[ f_ 1(q_ 1) \left( \frac{dW_ 1}{dq_ 1} \right)^2 + V_ 1(q_ 1) = E - \alpha_ 2 \] \[ f_ 2(q_ 2) \left( \frac{dW_ 2}{dq_ 2} \right)^2 + V_ 2(q_ 2) = \alpha_ 2 \] 这样就成功地将一个偏微分方程分离为两个常微分方程。 第四步：可分离系统的例子——中心力场问题 一个经典的例子是三维空间中的中心力场问题。在笛卡尔坐标下，由于势能 \( V(r) \) 依赖于 \( r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \)，哈密顿-雅可比方程不可分离。但转换到 球坐标系 \( (r, \theta, \phi) \) 后，该系统变得可分离。 系统的哈密顿量为： \[ H = \frac{1}{2m} \left( p_ r^2 + \frac{p_ \theta^2}{r^2} + \frac{p_ \phi^2}{r^2 \sin^2\theta} \right) + V(r) \] 对应的哈密顿-雅可比方程（对于特征函数 \( W \)）为： \[ \frac{1}{2m} \left[ \left( \frac{\partial W}{\partial r} \right)^2 + \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial W}{\partial \theta} \right)^2 + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \left( \frac{\partial W}{\partial \phi} \right)^2 \right ] + V(r) = E \] 我们假设 \( W(r, \theta, \phi) = W_ r(r) + W_ \theta(\theta) + W_ \phi(\phi) \)。代入方程并乘以 \( 2m r^2 \) 得： \[ r^2 \left( \frac{dW_ r}{dr} \right)^2 + 2m r^2 (E - V(r)) + \left( \frac{dW_ \theta}{d\theta} \right)^2 + \frac{1}{\sin^2\theta} \left( \frac{dW_ \phi}{d\phi} \right)^2 = 0 \] 注意到最后一项 \( \left( \frac{dW_ \phi}{d\phi} \right)^2 / \sin^2\theta \) 只与 \( \phi \) 有关，而其他项与 \( \phi \) 无关。这迫使它必须是一个常数，记为 \( \alpha_ \phi \)（对应角动量的z分量守恒）： \[ \frac{dW_ \phi}{d\phi} = \sqrt{\alpha_ \phi} \quad \Rightarrow \quad W_ \phi = \sqrt{\alpha_ \phi} , \phi \] 代入剩余方程，并类似地进行分离，最终得到三个常微分方程，分别只关于 \( r, \theta, \phi \)。这表明球坐标系是中心力场问题的 可分离坐标系 。 第五步：可分离性的意义与推广 哈密顿-雅可比方程的可分性理论具有深远意义： 提供了求解复杂动力系统的系统化方法 ：一旦找到一个可分离坐标系，求解复杂的偏微分方程就转化为求解一系列相对简单的常微分方程。 揭示了动力系统的内在对称性 ：可分离性与系统的守恒律和对称性密切相关。每一个成功的变量分离，通常对应着一个守恒量（如角动量）和一种对称性（如旋转对称性）。 与量子力学有深刻联系 ：在旧量子论中，索末菲和威尔逊将可分离性条件用于量子化规则（索末菲-威尔逊量子化条件）。在波动力学中，薛定谔方程的可分离性条件与哈密顿-雅可比方程的可分离性条件紧密相关。 此理论可以进一步推广到更一般的系统，包括有时变参数的系统、相对论系统等，是可积系统理论和经典力学近代发展的基石之一。