广义函数空间D'(Ω)上的卷积运算

我将为您讲解广义函数空间D'(Ω)上的卷积运算，这是一个在偏微分方程和数学物理中非常重要的概念。

1. 经典卷积的概念回顾

   首先回顾普通函数之间的卷积。对于定义在ℝⁿ上的函数f和g，它们的卷积定义为：
   (f∗g)(x) = ∫f(x-y)g(y)dy
   这个积分要求在整个ℝⁿ上可积。经典卷积具有交换律、结合律等良好性质，并且在傅里叶分析中，卷积对应于傅里叶变换的乘积。

2. 直接推广到广义函数的困难

   如果尝试直接将经典卷积的定义推广到任意两个广义函数u,v∈D'(Ω)，会遇到根本性困难：

   • 积分区域不明确：广义函数不是点定义的，无法直接计算积分
   • 支撑集问题：如果两个广义函数的支撑集都是无界的，卷积可能不存在
   • 收敛性问题：无法保证卷积运算的结果仍然是一个广义函数

3. 特殊情况：广义函数与紧支集光滑函数的卷积

   第一个可行的推广是考虑广义函数与测试函数的卷积。设u∈D'(ℝⁿ)，φ∈D(ℝⁿ)（具有紧支集的光滑函数），定义：
   (u∗φ)(x) = ⟨u, φ(x-⋅)⟩
   这里φ(x-⋅)表示函数y↦φ(x-y)。这个卷积结果是一个C∞光滑函数，且具有很好的正则性性质。

4. 广义函数与紧支集广义函数的卷积

   更一般的，如果至少一个广义函数具有紧支集，可以定义卷积。设u∈D'(ℝⁿ)，v∈E'(ℝⁿ)（紧支集广义函数），则卷积u∗v定义为：
   ⟨u∗v, φ⟩ = ⟨u(x), ⟨v(y), φ(x+y)⟩⟩
   这个定义是合理的，因为当v具有紧支集时，内层⟨v(y), φ(x+y)⟩是x的光滑函数。

5. 卷积的支撑集性质

   卷积运算对支撑集有重要影响：supp(u∗v) ⊆ supp(u) + supp(v)
   这里右边的加法是Minkowski和：A+B = {a+b | a∈A, b∈B}。这个性质解释了为什么要求至少一个因子具有紧支集——这保证了卷积不会"扩散"到全空间。

6. 卷积与微分运算的可交换性

   广义函数的卷积与微分算子D^α满足可交换性：
   D^α(u∗v) = (D^αu)∗v = u∗(D^αv)
   这个性质在求解线性偏微分方程时极为重要，因为它允许我们将微分运算转移到更"好"的因子上去。

7. 卷积作为正则化工具

   通过取一列光滑逼近函数ρ_ε（如磨光核），卷积u∗ρ_ε提供了用光滑函数逼近广义函数的标准方法。当ε→0时，u∗ρ_ε在广义函数意义下收敛到u。

8. 在偏微分方程中的应用

   卷积最重要的应用之一是构造基本解。如果E是微分算子P(D)的基本解，即P(D)E = δ（狄拉克函数），那么对任意紧支集广义函数f，方程P(D)u = f的解可以表示为u = E∗f。