赫维茨定理（Hurwitz's Theorem） 赫维茨定理是复分析中的一个重要结果，它描述了全纯函数序列在紧集上一致收敛时，其极限函数的零点分布性质。该定理在解析函数论和函数序列收敛性研究中具有基础地位。 1. 定理的预备知识 全纯函数 ：在复平面区域 \(D\) 上定义的函数 \(f(z)\)，若在 \(D\) 内每一点可复导，则称为全纯函数。全纯函数在其定义域内无限可微，且可展开为收敛的幂级数（泰勒级数）。 一致收敛 ：设函数序列 \(\{f_ n(z)\}\) 在区域 \(D\) 上逐点收敛于 \(f(z)\)。若对任意 \(\epsilon > 0\)，存在 \(N\) 使得当 \(n > N\) 时，对所有 \(z \in D\) 有 \(|f_ n(z) - f(z)| < \epsilon\)，则称 \(\{f_ n\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f\)。一致收敛能保持极限函数的连续性、可积性等性质。 零点 ：若 \(f(z_ 0) = 0\)，则称 \(z_ 0\) 为 \(f\) 的零点。若 \(f\) 在 \(z_ 0\) 处泰勒展开的最低次非零项为 \(k\) 次，则称 \(z_ 0\) 为 \(k\) 阶零点。 2. 定理的陈述 设 \(\{f_ n(z)\}\) 是区域 \(D\) 上的一列全纯函数，且在 \(D\) 的任意紧子集上一致收敛于函数 \(f(z)\)（则 \(f\) 也全纯）。若 \(f\) 不恒为零，且 \(f\) 在 \(D\) 内有零点 \(z_ 0\)，则存在 \(z_ 0\) 的一个邻域 \(U \subset D\) 和正整数 \(N\)，使得对每个 \(n > N\)，函数 \(f_ n(z)\) 在 \(U\) 内至少有一个零点（计重数），且这些零点随 \(n \to \infty\) 而趋于 \(z_ 0\)。 3. 定理的证明思路 由一致收敛性，\(f\) 全纯。设 \(z_ 0\) 为 \(f\) 的 \(m\) 阶零点，则存在圆盘 \(B_ r(z_ 0)\) 使得 \(f\) 在 \(B_ r(z_ 0)\) 内无其他零点，且在边界 \(|z - z_ 0| = r\) 上 \(|f(z)| > 0\)。 由一致收敛性，当 \(n\) 足够大时，在边界上有 \(|f_ n(z) - f(z)| < \min_ {|z-z_ 0|=r} |f(z)|\)。 应用 儒歇定理 （Rouché's Theorem）：若在简单闭曲线 \(\gamma\) 上，两个全纯函数 \(g\) 和 \(h\) 满足 \(|h(z)| < |g(z)|\)，则 \(g\) 和 \(g+h\) 在 \(\gamma\) 内部有相同个数的零点（计重数）。此处取 \(g = f\)，\(h = f_ n - f\)，可证 \(f_ n\) 在 \(B_ r(z_ 0)\) 内的零点个数与 \(f\) 相同（即 \(m\) 个），且这些零点随 \(n\) 增大而逼近 \(z_ 0\)。 4. 定理的推论与应用 零点稳定性 ：全纯函数序列的极限函数的非退化零点（即非恒零函数的零点）必为序列中函数的零点的极限点。这保证了零点在收敛过程中的“连续性”。 唯一性定理的强化 ：若全纯函数序列 \(\{f_ n\}\) 在区域 \(D\) 上一致收敛于 \(f\)，且每个 \(f_ n\) 在 \(D\) 内无零点，则 \(f\) 要么恒为零，要么在 \(D\) 内无零点。这常用于证明解析函数的唯一性。 近似理论 ：在数值分析中，赫维茨定理确保用全纯函数逼近时，零点的位置不会突然消失或跳跃，为根的计算提供理论保障。 5. 注意事项与反例 定理要求 \(f\) 不恒为零。若 \(f \equiv 0\)，则序列的零点可能趋于无穷或无规律分布（例如 \(f_ n(z) = \frac{1}{n} e^z\) 的零点为空集，但极限为零）。 一致收敛条件不可减弱为逐点收敛。例如，在单位圆盘上定义 \(f_ n(z) = \frac{z}{n}\)，则逐点收敛于 \(0\)，但 \(f_ n\) 的零点始终为 \(z=0\)，而极限函数的零点为全体复数，不符合定理结论。 赫维茨定理通过全纯函数的强约束性（如零点孤立性、最大模原理），将函数序列的收敛性与零点分布联系起来，体现了复分析中局部与整体性质的深刻统一。