数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十三）
字数 2953 2025-12-04 10:39:08

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十三）

本次讲解将深入探讨哈密顿-雅可比方程在可积系统中的应用，特别是作用量-角变量的引入。这是从求解单个偏微分方程到分析整个动力系统全局性质的关键一步。

第一步：回顾哈密顿-雅可比方程的核心思想

哈密顿-雅可比方程是经典力学中的一个基本方程，其形式为：
\(H\left(q_1, \dots, q_n; \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}; t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0\)，
其中 \(H\) 是系统的哈密顿量，\(q_i\) 是广义坐标，\(S\) 称为哈密顿主函数。

  • 核心思想：寻找一个正则变换，使得在新变量下，系统的哈密顿量恒为零。如果成功，新坐标和动量将成为常数，系统的运动问题便从求解微分方程转化为寻找一个特定的函数 \(S\)（即变换的生成函数）。
  • 分离变量法：对于许多物理问题（如中心力场、谐振子），哈密顿-雅可比方程可以通过分离变量法求解。即假设 \(S\) 可以写成若干函数之和，每个函数仅依赖于一个坐标和时间：\(S(q_1, \dots, q_n; \alpha_1, \dots, \alpha_n; t) = W_1(q_1, \alpha_1, \dots, \alpha_n) + \dots + W_n(q_n, \alpha_1, \dots, \alpha_n) - Et\)。其中 \(\alpha_i\) 和 \(E\) 是积分常数。函数 \(W = \sum W_i\) 称为特征函数（或缩并作用量）。

第二步：从分离变量到作用量变量

当系统存在循环坐标（即哈密顿量不显含的坐标）时，分离变量法会自然地引出一组特别的常数——作用量变量。

  1. 考虑一个可分离系统：假设一个具有 \(n\) 个自由度的系统，其哈密顿-雅可比方程可完全分离变量。那么，对于每个坐标 \(q_i\)，我们得到一个常微分方程，其解 \(W_i(q_i; \alpha_1, \dots, \alpha_n)\) 依赖于 \(n\) 个积分常数 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)。
  2. 定义作用量变量：对于每个周期运动（或振动、转动）的自由度，我们定义一个作用量变量 \(J_i\)：
    \(\displaystyle J_i = \oint p_i dq_i\)。
    这个积分是沿着 \(q_i\) 的一个完整周期进行的。这里的动量 \(p_i\) 由哈密顿-雅可比理论给出：\(p_i = \frac{\partial W}{\partial q_i} = \frac{\partial W_i}{\partial q_i}\)。因此，
    \(\displaystyle J_i = \oint \frac{\partial W_i}{\partial q_i} dq_i\)。
    由于 \(W_i\) 是 \(q_i\) 和常数 \(\alpha_j\) 的函数，完成这个闭路积分后，\(J_i\) 将仅仅是那 \(n\) 个积分常数 \(\alpha_j\) 的函数：\(J_i = J_i(\alpha_1, \dots, \alpha_n)\)。
  3. 物理意义：作用量变量 \(J_i\) 是绝热不变量。即使在系统参数缓慢变化时，系统的总能量可能改变，但每个 \(J_i\) 保持不变。这在从经典力学到旧量子论的过渡中起到了关键作用（玻尔-索末菲量子化条件：\(J_i = n\hbar\)）。

第三步：角变量及其运动方程

  1. 引入角变量：我们选择 \(n\) 个作用量变量 \(J_1, \dots, J_n\) 作为一组新的常数动量。根据正则变换理论，需要引入一组共轭的变量 \(w_1, \dots, w_n\)，称为角变量。生成函数现在是特征函数 \(W(q_1, \dots, q_n; J_1, \dots, J_n)\)。
  2. 角变量的定义：角变量由生成函数 \(W\) 对 \(J_i\) 的偏导数定义：
    \(\displaystyle w_i = \frac{\partial W(q_1, \dots, q_n; J_1, \dots, J_n)}{\partial J_i}\)。
  3. 运动方程：在新的作用量-角变量 \((w, J)\) 下，系统的哈密顿量只依赖于作用量变量，记为 \(H(J_1, \dots, J_n)\)（因为原方程可积，且我们通过正则变换“化解”了所有坐标依赖性）。哈密顿方程变为：
    \(\displaystyle \dot{J_i} = -\frac{\partial H}{\partial w_i} = 0\) （动量守恒）
    \(\displaystyle \dot{w_i} = \frac{\partial H}{\partial J_i} = \nu_i(J_1, \dots, J_n)\) （角速度是常数）
    第一个方程确认了 \(J_i\) 是常数。第二个方程表明角变量 \(w_i\) 随时间线性变化：
    \(w_i(t) = \nu_i t + w_i(0)\)，
    其中 \(\nu_i\) 是第 \(i\) 个自由度的频率。

第四步：作用量-角变量方法的威力与几何图像

  1. 全局求解：通过引入作用量-角变量，我们不仅找到了运动方程的解，而且获得了系统运动的全局图像。系统的相空间轨迹被描绘在一个 \(n\) 维环面（轮胎状的几何体）上。
  2. 环面结构：每个角变量 \(w_i\) 在模 \(2\pi\) 的意义下定义，对应于环面上的一个角度。系统的运动对应于在这个 \(n\) 维环面上以恒定角速度 \(\nu_i\) 进行的“转动”。
  3. 可积性的刻画：一个具有 \(n\) 个自由度的哈密顿系统是完全可积的（即存在足够多的独立守恒量），当且仅当它的运动被限制在相空间中的一个 \(n\) 维环面上，并且可以用作用量-角变量来描述。这是著名的刘维尔-阿诺尔德定理的核心内容。
  4. 摄动理论的基础：对于近可积系统（可积系统加上一个小扰动），作用量-角变量是分析系统稳定性、共振和混沌现象的出发点，直接导向著名的KAM理论（科尔莫戈罗夫-阿诺尔德-莫泽理论）。

总结：作用量-角变量的引入，将哈密顿-雅可比理论从求解特定轨迹的工具，提升为分析动力系统整体几何结构的强大框架。它深刻地揭示了可积系统中运动的周期性和相空间的环面结构，为理解更复杂的非线性系统奠定了基石。

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十三） 本次讲解将深入探讨 哈密顿-雅可比方程在可积系统中的应用 ，特别是 作用量-角变量 的引入。这是从求解单个偏微分方程到分析整个动力系统全局性质的关键一步。 第一步：回顾哈密顿-雅可比方程的核心思想 哈密顿-雅可比方程是经典力学中的一个基本方程，其形式为： \( H\left(q_ 1, \dots, q_ n; \frac{\partial S}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_ n}; t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \)， 其中 \( H \) 是系统的哈密顿量，\( q_ i \) 是广义坐标，\( S \) 称为哈密顿主函数。 核心思想 ：寻找一个正则变换，使得在新变量下，系统的哈密顿量恒为零。如果成功，新坐标和动量将成为常数，系统的运动问题便从求解微分方程转化为寻找一个特定的函数 \( S \)（即变换的生成函数）。 分离变量法 ：对于许多物理问题（如中心力场、谐振子），哈密顿-雅可比方程可以通过分离变量法求解。即假设 \( S \) 可以写成若干函数之和，每个函数仅依赖于一个坐标和时间：\( S(q_ 1, \dots, q_ n; \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n; t) = W_ 1(q_ 1, \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) + \dots + W_ n(q_ n, \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) - Et \)。其中 \( \alpha_ i \) 和 \( E \) 是积分常数。函数 \( W = \sum W_ i \) 称为特征函数（或缩并作用量）。 第二步：从分离变量到作用量变量 当系统存在循环坐标（即哈密顿量不显含的坐标）时，分离变量法会自然地引出一组特别的常数—— 作用量变量 。 考虑一个可分离系统 ：假设一个具有 \( n \) 个自由度的系统，其哈密顿-雅可比方程可完全分离变量。那么，对于每个坐标 \( q_ i \)，我们得到一个常微分方程，其解 \( W_ i(q_ i; \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) \) 依赖于 \( n \) 个积分常数 \( \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n \)。 定义作用量变量 ：对于每个周期运动（或振动、转动）的自由度，我们定义一个作用量变量 \( J_ i \)： \( \displaystyle J_ i = \oint p_ i dq_ i \)。 这个积分是沿着 \( q_ i \) 的一个完整周期进行的。这里的动量 \( p_ i \) 由哈密顿-雅可比理论给出：\( p_ i = \frac{\partial W}{\partial q_ i} = \frac{\partial W_ i}{\partial q_ i} \)。因此， \( \displaystyle J_ i = \oint \frac{\partial W_ i}{\partial q_ i} dq_ i \)。 由于 \( W_ i \) 是 \( q_ i \) 和常数 \( \alpha_ j \) 的函数，完成这个闭路积分后，\( J_ i \) 将仅仅是那 \( n \) 个积分常数 \( \alpha_ j \) 的函数：\( J_ i = J_ i(\alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) \)。 物理意义 ：作用量变量 \( J_ i \) 是 绝热不变量 。即使在系统参数缓慢变化时，系统的总能量可能改变，但每个 \( J_ i \) 保持不变。这在从经典力学到旧量子论的过渡中起到了关键作用（玻尔-索末菲量子化条件：\( J_ i = n\hbar \)）。 第三步：角变量及其运动方程 引入角变量 ：我们选择 \( n \) 个作用量变量 \( J_ 1, \dots, J_ n \) 作为一组新的常数动量。根据正则变换理论，需要引入一组共轭的变量 \( w_ 1, \dots, w_ n \)，称为 角变量 。生成函数现在是特征函数 \( W(q_ 1, \dots, q_ n; J_ 1, \dots, J_ n) \)。 角变量的定义 ：角变量由生成函数 \( W \) 对 \( J_ i \) 的偏导数定义： \( \displaystyle w_ i = \frac{\partial W(q_ 1, \dots, q_ n; J_ 1, \dots, J_ n)}{\partial J_ i} \)。 运动方程 ：在新的作用量-角变量 \( (w, J) \) 下，系统的哈密顿量只依赖于作用量变量，记为 \( H(J_ 1, \dots, J_ n) \)（因为原方程可积，且我们通过正则变换“化解”了所有坐标依赖性）。哈密顿方程变为： \( \displaystyle \dot{J_ i} = -\frac{\partial H}{\partial w_ i} = 0 \) （动量守恒） \( \displaystyle \dot{w_ i} = \frac{\partial H}{\partial J_ i} = \nu_ i(J_ 1, \dots, J_ n) \) （角速度是常数） 第一个方程确认了 \( J_ i \) 是常数。第二个方程表明角变量 \( w_ i \) 随时间线性变化： \( w_ i(t) = \nu_ i t + w_ i(0) \)， 其中 \( \nu_ i \) 是第 \( i \) 个自由度的频率。 第四步：作用量-角变量方法的威力与几何图像 全局求解 ：通过引入作用量-角变量，我们不仅找到了运动方程的解，而且获得了系统运动的 全局图像 。系统的相空间轨迹被描绘在一个 \( n \) 维环面（轮胎状的几何体）上。 环面结构 ：每个角变量 \( w_ i \) 在模 \( 2\pi \) 的意义下定义，对应于环面上的一个角度。系统的运动对应于在这个 \( n \) 维环面上以恒定角速度 \( \nu_ i \) 进行的“转动”。 可积性的刻画 ：一个具有 \( n \) 个自由度的哈密顿系统是完全可积的（即存在足够多的独立守恒量），当且仅当它的运动被限制在相空间中的一个 \( n \) 维环面上，并且可以用作用量-角变量来描述。这是著名的 刘维尔-阿诺尔德定理 的核心内容。 摄动理论的基础 ：对于近可积系统（可积系统加上一个小扰动），作用量-角变量是分析系统稳定性、共振和混沌现象的出发点，直接导向著名的 KAM理论 （科尔莫戈罗夫-阿诺尔德-莫泽理论）。 总结 ：作用量-角变量的引入，将哈密顿-雅可比理论从求解特定轨迹的工具，提升为分析动力系统整体几何结构的强大框架。它深刻地揭示了可积系统中运动的周期性和相空间的环面结构，为理解更复杂的非线性系统奠定了基石。