遍历理论中的随机矩阵乘积的刚性

1. 随机矩阵乘积的基本概念
   随机矩阵乘积研究的是独立同分布的随机矩阵序列的乘积行为。设 \(\{A_n\}_{n \geq 1}\) 是取值于 \(GL(d, \mathbb{R})\) 的独立同分布随机矩阵序列，其乘积为 \(S_n = A_n \cdots A_1\)。核心问题是分析 \(S_n\) 的渐近性质，例如增长速率（由李雅普诺夫指数描述）和方向分布（由弗斯滕伯格测度刻画）。

2. 刚性的定义与背景
   在遍历理论中，刚性指动力系统的某些不变量（如谱或李雅普诺夫指数）在微小扰动下保持不变的性质。对于随机矩阵乘积，刚性表现为：当随机矩阵的分布满足特定条件（如强不可约性和收缩性）时，李雅普诺夫指数或弗斯滕伯格测度对分布的扰动极其敏感，仅在分布属于某类特殊代数结构（如保角或可交换系统）时才能保持稳定。

3. 刚性的数学刻画
   刚性可通过以下工具严格描述：

   • 弗斯滕伯格定理：若随机矩阵集是强不可约且非紧的，则李雅普诺夫指数具有简单性（无重数），且弗斯滕伯格测度是唯一的。
   • 刚性现象：当扰动一个非刚性系统时，李雅普诺夫指数可能发生突变；而刚性系统（如所有矩阵共享相同特征向量基）在扰动下指数保持不变，但这类系统是零测的例外情况。

4. 刚性与代数结构的关系
   刚性的出现常与矩阵集的代数约束相关：

   • 若矩阵集可同时对角化或酉对角化，系统具有刚性，李雅普诺夫指数在扰动下稳定。
   • 对于一般系统（强不可约且收缩），刚性被破坏，李雅普诺夫指数对扰动敏感，这反映了“混沌”系统对初始条件的依赖性在随机环境中的类比。

5. 应用与推广
   随机矩阵乘积的刚性理论被应用于：

   • 动力系统的稳定性分析，如随机扰动下的线性科卡蒂方程；
   • 数学物理中安德森局域化问题的研究，其中刚性对应能谱对无序的稳定性；
   • 非一致双曲系统的不变测度分类，刚性帮助区分遍历分量。