遍历理论中的非一致部分双曲系统的绝对连续不稳定叶状结构 非一致部分双曲系统的定义 非一致部分双曲系统是动力系统的一类，其相空间在迭代过程中呈现非均匀的拉伸和压缩行为，但并非所有方向都呈现双曲性（即同时存在稳定和不稳定方向）。具体地，设 \( f: M \to M \) 是紧流形 \( M \) 上的微分同胚，存在 \( T M \) 的连续分解 \( E^s \oplus E^c \oplus E^u \)，以及常数 \( 0 < \lambda < 1 \)、\( \mu > 1 \)，使得对任意 \( x \in M \) 和 \( n \geq 0 \)： 稳定方向 \( E^s \)：\( \| D f^n(v) \| \leq C(x) \lambda^n \| v \| \)（\( v \in E^s \)）， 不稳定方向 \( E^u \)：\( \| D f^{-n}(v) \| \leq C(x) \mu^{-n} \| v \| \)（\( v \in E^u \)）， 中心方向 \( E^c \)：可能具有中性行为（如收缩或扩张速度慢于指数）。 关键点在于常数 \( C(x) \) 可能依赖于点 \( x \)，且允许在相空间中无界增长，这体现了“非一致性”。 不稳定叶状结构的概念 不稳定叶状结构是一族光滑浸入子流形（称为不稳定流形），每个流形与不稳定丛 \( E^u \) 相切。对于非一致系统，这些流形满足： 局部不变性 ：若 \( y \) 在 \( x \) 的不稳定流形 \( W^u(x) \) 上，则 \( f(y) \) 在 \( W^u(f(x)) \) 上。 指数收缩性 ：沿不稳定流形反向迭代时，点之间的距离以指数速度收缩，即 \( d(f^{-n}(x), f^{-n}(y)) \leq C(x) \mu^{-n} d(x, y) \)（\( y \in W^u(x) \)）。 非一致性体现在 \( C(x) \) 可能随 \( x \) 变化，导致流形的光滑性或尺寸在相空间中非均匀。 绝对连续性的含义 绝对连续性描述叶状结构相对于参考测度（如体积测度）的几何性质。若不稳定叶状结构是绝对连续的，则叶状结构的横截变换（将不同流形上的点映射的映射）保持零测度集： 设 \( \Lambda \) 是横截于叶状结构的局部子流形，若 \( A \subset \Lambda \) 在 \( \Lambda \) 上具有零测度，则 \( A \) 在任何不稳定流形上的投影也具有零测度。 这一性质确保系统的遍历行为在横截方向上“不丢失信息”，是证明遍历性（如SRB测度的存在性）的关键。 非一致部分双曲系统中的绝对连续性构造 在非一致设定下，绝对连续性的证明需处理 \( C(x) \) 的无界性。核心步骤包括： 可容许截口的选择 ：通过细化叶状结构的局部坐标卡，控制 \( C(x) \) 的增长对横截变换雅可比行列式的影响。 霍尔曼（Hölder）连续性估计 ：证明不稳定分布 \( E^u \) 的霍尔曼连续性，从而推导横截变换的可微性。 测度拉回技术 ：将参考测度沿不稳定流形拉回，利用佩斯（Pesin）理论证明拉回测度绝对连续于叶状结构上的条件测度。 这一构造要求系统满足“部分双曲性”和“李雅普诺夫正则性”（如奥塞列德乘子定理的条件）。 应用与意义 绝对连续不稳定叶状结构是分析非一致系统统计性质的基础： SRB测度存在性 ：若系统具有绝对连续不稳定叶状结构，则可能支持SRB测度（物理测度），其条件测度在不稳定流形上绝对连续。 衰减关联与极限定理 ：绝对连续性允许通过各态历经性推导混合速率或中心极限定理。 刚性现象 ：该性质可用于区分不同动力系统的共轭类，例如在部分双曲系统分类中作为不变量。 此类结构常见于非一致双曲映射（如洛伦兹系统）或部分双曲微分同胚的扰动模型。