二次型的矩阵表示 我们先从二次型的基本概念开始。设 \( K \) 是一个域（如有理数域、实数域等），\( n \) 是一个正整数。一个 \( n \) 元二次型是指一个关于 \( n \) 个变元 \( x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n \) 的二次齐次多项式，其一般形式为： \[ Q(x_ 1, \dots, x_ n) = \sum_ {i=1}^n \sum_ {j=1}^n a_ {ij} x_ i x_ j, \] 其中系数 \( a_ {ij} \in K \)，且通常要求 \( a_ {ij} = a_ {ji} \)（即对称性）。例如，二元二次型 \( Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \) 就是一个典型例子。 为了用矩阵工具研究二次型，我们引入矩阵表示。将变元写成列向量 \( \mathbf{x} = [ x_ 1, \dots, x_ n]^T \)，并构造一个 \( n \times n \) 对称矩阵 \( A \)，其元素满足 \( A_ {ij} = a_ {ij} \)。由于 \( a_ {ij} = a_ {ji} \)，矩阵 \( A \) 是对称的（即 \( A = A^T \)）。此时，二次型可简洁地表示为： \[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}. \] 例如，二元二次型 \( Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \) 对应矩阵 \( A = \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} \)，因为： \[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = ax^2 + bxy + cy^2. \] 这里系数 \( b \) 被平分到非对角元以保持对称性。 矩阵表示的核心优势在于，它允许我们通过线性代数操作简化二次型。考虑可逆线性变换 \( \mathbf{x} = P \mathbf{y} \)，其中 \( P \) 是 \( n \times n \) 可逆矩阵。代入二次型： \[ Q(\mathbf{x}) = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y}. \] 新矩阵 \( B = P^T A P \) 仍是对称矩阵，且对应二次型 \( \mathbf{y}^T B \mathbf{y} \) 称为与原二次型等价。等价二次型共享许多性质（如秩、正定性等）。 通过选择合适的 \( P \)，我们可将 \( A \) 合同对角化，即找到可逆矩阵 \( P \) 使得 \( P^T A P \) 为对角矩阵 \( \operatorname{diag}(d_ 1, \dots, d_ n) \)。此时二次型化为标准形： \[ Q(\mathbf{x}) = d_ 1 y_ 1^2 + \cdots + d_ n y_ n^2. \] 对角化过程依赖于基域 \( K \) 的性质。在实数域上，我们可进一步通过缩放得到规范形（系数为 ±1 或 0）；在代数闭域（如复数域）上，系数可化为 1 或 0。 矩阵表示还直接关联二次型的几何性质。例如，在实数域上，矩阵 \( A \) 的特征值符号决定了二次型的正定性：若所有特征值为正，则 \( Q(\mathbf{x}) > 0 \) 对所有非零 \( \mathbf{x} \) 成立（正定）；若特征值有正有负，则为不定型。矩阵的秩（即非零特征值个数）对应二次型中独立平方项的个数。 总结来说，二次型的矩阵表示将多项式问题转化为对称矩阵的合同分类问题，为研究二次型的分类、惯性定理、正交变换等提供了统一框架。