xxx数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十一）
字数 2475 2025-12-04 07:02:11

xxx数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十一）

1. 变分原理与哈密顿-雅可比理论的回顾

  • 变分原理的核心思想是：物理系统的真实运动轨迹使得某个作用量泛函取极值（通常是极小值）。例如，经典力学中的哈密顿原理要求作用量 \(S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt\) 在真实路径上取极值，其中 \(L\) 为拉格朗日量。
  • 哈密顿-雅可比理论则将力学系统的运动转化为一个偏微分方程——哈密顿-雅可比方程：

\[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0, \]

其中 \(S(q, t)\) 称为主函数，\(H\) 为哈密顿量。该方程的解 \(S\) 通过变换关系 \(p = \frac{\partial S}{\partial q}\) 直接给出系统的运动轨迹。

2. 本续篇的焦点：作用量函数与可积系统的联系

在前述理论中，若哈密顿量不显含时间（守恒系统），可分离时间变量，令 \(S(q, t) = W(q) - Et\)，代入哈密顿-雅可比方程得到：

\[ H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E, \]

其中 \(W(q)\) 称为特征函数，\(E\) 为系统能量。本节重点分析 \(W(q)\) 的几何与可积性意义。

  • 作用量变量的引入：对于具有 \(n\) 个自由度的可积系统，存在 \(n\) 个独立的首次积分（守恒量）。在相空间中，系统的运动被限制在一个 \(n\) 维环面上。此时，可定义 作用量变量 \(J_k\)：

\[ J_k = \oint_{\gamma_k} p \, dq, \]

其中 \(\gamma_k\) 是环面上的第 \(k\) 个基本循环路径，积分表示在该路径上的动量 \(p\) 对广义坐标 \(q\) 的环路积分。作用量变量 \(J_k\) 是守恒量，完全由系统的初值条件决定。

  • 特征函数 \(W(q)\) 与角变量：通过作用量变量，可构造特征函数 \(W(q, J)\)，满足：

\[ p = \frac{\partial W}{\partial q}, \quad \theta_k = \frac{\partial W}{\partial J_k}, \]

其中 \(\theta_k\) 称为 角变量，随时间线性变化： \(\theta_k = \omega_k t + \text{常数}\)。角变量描述系统在环面上的周期运动，频率 \(\omega_k = \frac{\partial H}{\partial J_k}\) 由哈密顿量对作用量变量的偏导给出。

3. 可积系统中的哈密顿-雅可比方程求解

  • 对于可积系统，哈密顿-雅可比方程可通过 分离变量法 求解。例如，若哈密顿量可写为 \(H = \sum_{k=1}^n H_k(q_k, p_k)\)，则假设特征函数 \(W(q) = \sum_{k=1}^n W_k(q_k)\)，方程分解为 \(n\) 个常微分方程：

\[ H_k\left(q_k, \frac{dW_k}{dq_k}\right) = E_k, \quad \sum_{k=1}^n E_k = E. \]

每个 \(W_k(q_k)\) 可通过积分直接求解，进而得到完整的主函数 \(S\)。

  • 示例——谐振子系统：考虑一维谐振子，哈密顿量 \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 q^2\)。哈密顿-雅可比方程为：

\[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 q^2 = E. \]

 解得特征函数：

\[ W(q) = \int \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} \, dq. \]

作用量变量 \(J = \oint p \, dq = \frac{2\pi E}{\omega}\)，从而能量可表示为 \(E = \frac{\omega J}{2\pi}\)，角频率 \(\omega = \frac{\partial E}{\partial J}\) 为常数。

4. 几何意义：相空间中的环面结构与刘维尔定理

  • 可积系统的相空间被 \(n\) 个守恒量限制在 不变环面 上。刘维尔定理指出，若这些守恒量两两对易（即泊松括号为零），则系统运动是环面上的拟周期运动。
  • 作用量变量 \(J_k\) 标识不同的环面，角变量 \(\theta_k\) 表示环面上的位置。哈密顿-雅可比理论通过变换 \((q, p) \to (\theta, J)\) 将系统化为角变量匀速转动的平凡运动。

5. 物理应用：天体力学与微扰理论

  • 在天体力学中（如二体问题），作用量-角变量 formalism 用于分析轨道进动。例如，水星近日点的进动可通过在可积系统上加入微扰（如广义相对论修正）来研究。
  • 当系统接近可积时，科尔莫戈罗夫-阿诺尔德-莫斯（KAM）理论 描述微扰下环面的稳定性，哈密顿-雅可比方程为该理论提供了基础框架。

6. 总结

本续篇深入探讨了变分原理与哈密顿-雅可比理论在可积系统中的作用，强调了作用量变量与角变量的物理意义，以及环面结构在相空间中的几何描述。这一框架不仅是经典力学的核心，也为量子化（如玻尔-索末菲量子化条件）和混沌理论奠定了基础。

xxx数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十一） 1. 变分原理与哈密顿-雅可比理论的回顾 变分原理 的核心思想是：物理系统的真实运动轨迹使得某个作用量泛函取极值（通常是极小值）。例如，经典力学中的哈密顿原理要求作用量 \( S = \int_ {t_ 1}^{t_ 2} L(q, \dot{q}, t) \, dt \) 在真实路径上取极值，其中 \( L \) 为拉格朗日量。 哈密顿-雅可比理论 则将力学系统的运动转化为一个偏微分方程——哈密顿-雅可比方程： \[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0, \] 其中 \( S(q, t) \) 称为主函数，\( H \) 为哈密顿量。该方程的解 \( S \) 通过变换关系 \( p = \frac{\partial S}{\partial q} \) 直接给出系统的运动轨迹。 2. 本续篇的焦点：作用量函数与可积系统的联系 在前述理论中，若哈密顿量不显含时间（守恒系统），可分离时间变量，令 \( S(q, t) = W(q) - Et \)，代入哈密顿-雅可比方程得到： \[ H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E, \] 其中 \( W(q) \) 称为特征函数，\( E \) 为系统能量。本节重点分析 \( W(q) \) 的几何与可积性意义。 作用量变量的引入 ：对于具有 \( n \) 个自由度的可积系统，存在 \( n \) 个独立的首次积分（守恒量）。在相空间中，系统的运动被限制在一个 \( n \) 维环面上。此时，可定义 作用量变量 \( J_ k \)： \[ J_ k = \oint_ {\gamma_ k} p \, dq, \] 其中 \( \gamma_ k \) 是环面上的第 \( k \) 个基本循环路径，积分表示在该路径上的动量 \( p \) 对广义坐标 \( q \) 的环路积分。作用量变量 \( J_ k \) 是守恒量，完全由系统的初值条件决定。 特征函数 \( W(q) \) 与角变量 ：通过作用量变量，可构造特征函数 \( W(q, J) \)，满足： \[ p = \frac{\partial W}{\partial q}, \quad \theta_ k = \frac{\partial W}{\partial J_ k}, \] 其中 \( \theta_ k \) 称为 角变量 ，随时间线性变化： \( \theta_ k = \omega_ k t + \text{常数} \)。角变量描述系统在环面上的周期运动，频率 \( \omega_ k = \frac{\partial H}{\partial J_ k} \) 由哈密顿量对作用量变量的偏导给出。 3. 可积系统中的哈密顿-雅可比方程求解 对于可积系统，哈密顿-雅可比方程可通过 分离变量法 求解。例如，若哈密顿量可写为 \( H = \sum_ {k=1}^n H_ k(q_ k, p_ k) \)，则假设特征函数 \( W(q) = \sum_ {k=1}^n W_ k(q_ k) \)，方程分解为 \( n \) 个常微分方程： \[ H_ k\left(q_ k, \frac{dW_ k}{dq_ k}\right) = E_ k, \quad \sum_ {k=1}^n E_ k = E. \] 每个 \( W_ k(q_ k) \) 可通过积分直接求解，进而得到完整的主函数 \( S \)。 示例——谐振子系统 ：考虑一维谐振子，哈密顿量 \( H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 q^2 \)。哈密顿-雅可比方程为： \[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 q^2 = E. \] 解得特征函数： \[ W(q) = \int \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} \, dq. \] 作用量变量 \( J = \oint p \, dq = \frac{2\pi E}{\omega} \)，从而能量可表示为 \( E = \frac{\omega J}{2\pi} \)，角频率 \( \omega = \frac{\partial E}{\partial J} \) 为常数。 4. 几何意义：相空间中的环面结构与刘维尔定理 可积系统的相空间被 \( n \) 个守恒量限制在 不变环面 上。刘维尔定理指出，若这些守恒量两两对易（即泊松括号为零），则系统运动是环面上的拟周期运动。 作用量变量 \( J_ k \) 标识不同的环面，角变量 \( \theta_ k \) 表示环面上的位置。哈密顿-雅可比理论通过变换 \( (q, p) \to (\theta, J) \) 将系统化为角变量匀速转动的平凡运动。 5. 物理应用：天体力学与微扰理论 在天体力学中（如二体问题），作用量-角变量 formalism 用于分析轨道进动。例如，水星近日点的进动可通过在可积系统上加入微扰（如广义相对论修正）来研究。 当系统接近可积时， 科尔莫戈罗夫-阿诺尔德-莫斯（KAM）理论 描述微扰下环面的稳定性，哈密顿-雅可比方程为该理论提供了基础框架。 6. 总结 本续篇深入探讨了变分原理与哈密顿-雅可比理论在可积系统中的作用，强调了作用量变量与角变量的物理意义，以及环面结构在相空间中的几何描述。这一框架不仅是经典力学的核心，也为量子化（如玻尔-索末菲量子化条件）和混沌理论奠定了基础。