曲面的切触几何（续） 在先前讨论的基础上，我们将深入探讨切触几何中一个核心概念： 切触阶（Order of Contact） 。这个概念精确地量化了两个几何对象（如曲线与曲面，或两个曲面）在一点附近“贴近”的程度。 1. 切触阶的直观理解 想象一条曲线C与一个曲面S在点P相交。如果曲线仅仅是穿过曲面（如一根针穿过一张纸），我们称它们有“简单交点”或“一阶切触”。但如果曲线在P点不仅与曲面相交，还沿着某个方向“贴合”在曲面上（如飞机在跑道上滑行时，轮胎与跑道表面的接触），那么它们的“贴近”程度就更高，即具有更高阶的切触。 2. 数学上的精确定义 为了精确定义切触阶，我们引入一个比较函数。设曲面S由方程 \( F(x, y, z) = 0 \) 定义。曲线C可以用参数方程 \( \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \) 表示，且满足 \( \mathbf{r}(0) = P \)。 现在，考虑复合函数 \( f(t) = F(x(t), y(t), z(t)) \)。这个函数衡量了曲线上点 \( \mathbf{r}(t) \) 到曲面的“代数距离”。 我们说曲线C与曲面S在点P有 至少k阶切触 ，如果函数 \( f(t) \) 在 \( t=0 \) 处满足： \[ f(0) = 0, \quad f'(0) = 0, \quad f''(0) = 0, \quad \dots, \quad f^{(k)}(0) = 0 \] 其中 \( f^{(k)}(0) \) 表示f在t=0处的k阶导数。 如果上述条件对k阶导数成立，但对(k+1)阶导数不成立（即 \( f^{(k+1)}(0) \neq 0 \)），那么我们说曲线与曲面在点P有 精确的k阶切触 。 3. 特例：曲线与切平面的切触 一个特别重要的情形是考虑曲线与曲面在点P的切平面 \( \pi \) 的切触阶。曲面的切平面方程可以写为 \( L(x, y, z) = 0 \)，其中L是一个线性函数。 如果一条曲线与曲面S在P点有 至少一阶切触 ，那么它在P点的切线必然位于切平面 \( \pi \) 内。这是“相切”的基本要求。 如果曲线与S有 至少二阶切触 ，那么它不仅与 \( \pi \) 相切，其曲率向量在P点的投影（即法曲率）也与曲面S在该方向的法曲率一致。这意味着曲线在P点附近，相对于曲面S的“弯曲”方式开始趋同。 4. 切触阶的几何意义 切触阶k的数值越大，意味着曲线在点P附近与曲面S贴合得越紧密。 k=1 ：曲线穿过曲面。 k=2 ：曲线在接触点与曲面有相同的切平面和法曲率。例如，曲面上的测地线在任意点都与切平面有至少二阶切触。 k=3 ：曲线与曲面进一步共享了“挠率”或更高阶的弯曲信息，贴合度更高。一个典型的例子是曲面上的 渐近曲线 ，如果它还是测地线，那么在非脐点处通常与切平面有精确的三阶切触。 5. 应用：密切抛物面 切触阶的概念引出了一个强有力的工具—— 密切抛物面 。给定曲面S上一点P（非脐点），存在一个唯一的二次抛物面（称为密切抛物面），它与曲面S在点P有 至少二阶切触 。这个抛物面的形状由S在P点的主曲率 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 决定： 如果 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 同号（椭圆点），密切抛物面是 椭圆抛物面 。 如果 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 异号（双曲点），密切抛物面是 双曲抛物面 。 如果其中一个主曲率为零（抛物点），密切抛物面是 抛物柱面 。 密切抛物面在点P的邻域内是原曲面的最佳二次逼近。研究曲线与这个密切抛物面的切触阶，等价于研究曲线与原曲面的切触阶，这常常能简化计算和几何直观。