可测函数关于符号测度的积分 1. 符号测度的基本概念 符号测度是测度论的推广，允许取负值。形式上，若 \((\Omega, \mathcal{F})\) 是可测空间，符号测度 \(\mu\) 是一个满足 \(\mu(\emptyset)=0\) 且可数可加的集函数，但值域为 \(\mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}\)（通常限制至少一侧有限）。符号测度的 若尔当分解定理 指出： \[ \mu = \mu^+ - \mu^- \] 其中 \(\mu^+, \mu^-\) 是有限正测度，且相互奇异。这一分解为定义积分奠定了基础。 2. 可测函数对符号测度积分的定义 设 \(f: \Omega \to \mathbb{R}\) 是可测函数，\(\mu\) 是符号测度，其若尔当分解为 \(\mu = \mu^+ - \mu^-\)。若 \(f\) 同时对 \(\mu^+\) 和 \(\mu^-\) 可积（即 \(\int |f| \,d\mu^+ < \infty\) 且 \(\int |f| \,d\mu^- < \infty\)），则定义 \(f\) 关于 \(\mu\) 的积分为： \[ \int f \,d\mu = \int f \,d\mu^+ - \int f \,d\mu^-. \] 此定义要求 \(f\) 在 \(\mu^+\) 和 \(\mu^-\) 的积分均有限，避免出现 \(\infty - \infty\) 的不定式。 3. 积分的线性性与绝对连续性 线性性 ：若 \(f, g\) 对 \(\mu\) 可积，\(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\)，则 \[ \int (\alpha f + \beta g) \,d\mu = \alpha \int f \,d\mu + \beta \int g \,d\mu. \] 这由正测度积分的线性性直接推得。 绝对连续性 ：若 \(|\mu| = \mu^+ + \mu^-\) 是 \(\mu\) 的全变差测度，则 \(f\) 对 \(\mu\) 可积当且仅当 \(f\) 对 \(|\mu|\) 可积，且 \[ \left| \int f \,d\mu \right| \le \int |f| \,d|\mu|. \] 4. 与拉东-尼科迪姆导数的关联 若 \(\mu\) 关于某正测度 \(\nu\) 绝对连续（即 \(\mu \ll \nu\)），由拉东-尼科迪姆定理，存在可测函数 \(g = \frac{d\mu}{d\nu}\)（称为密度函数），使得对任意可积函数 \(f\)， \[ \int f \,d\mu = \int f g \,d\nu. \] 这将对符号测度的积分转化为对正测度的积分，简化计算。 5. 收敛定理的推广 控制收敛定理 ：若可测函数列 \(\{f_ n\}\) 逐点收敛于 \(f\)，且存在对 \(|\mu|\) 可积的函数 \(h\) 使得 \(|f_ n| \le h\)，则 \[ \lim_ {n\to\infty} \int f_ n \,d\mu = \int f \,d\mu. \] 法图引理 ：若 \(\{f_ n\}\) 是非负可测函数列，则 \[ \int \liminf_ {n\to\infty} f_ n \,d\mu \le \liminf_ {n\to\infty} \int f_ n \,d\mu. \] 注意符号测度的存在要求对 \(\mu^+\) 和 \(\mu^-\) 分别应用引理。 6. 应用示例：斯蒂尔杰斯积分 勒贝格-斯蒂尔杰斯积分是符号测度积分的特例。若 \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是有界变差函数，其对应的符号测度 \(\mu_ F\) 可通过若尔当分解定义为两个单调函数的差，此时 \[ \int f \,dF = \int f \,d\mu_ F \] 即经典的斯蒂尔杰斯积分。 总结 可测函数关于符号测度的积分通过若尔当分解转化为正测度的积分，保留了线性性、收敛定理等核心性质，并可通过拉东-尼科迪姆导数简化计算。这一概念在泛函分析、概率论（如条件期望的构造）及物理中均有重要应用。