模形式的维数公式 我们先从模形式的基本定义出发。模形式是复上半平面上的全纯函数，满足特定的变换性质（对模群的某个子群）以及增长条件。模形式按权（weight）和级（level）分类，而不同权与级下的模形式构成一个有限维向量空间。维数公式则精确给出了这个空间的维数。 第一步：模形式空间的记号 设 \( k \) 为整数（权），\( N \) 为正整数（级），\( \Gamma_ 0(N) \) 是模群 \( SL_ 2(\mathbb{Z}) \) 中满足 \( c \equiv 0 \pmod{N} \) 的矩阵构成的同余子群。我们考虑两类空间： 模形式空间 \( M_ k(\Gamma_ 0(N)) \)：权 \( k \) 、级 \( N \) 的模形式全体。 尖点形式空间 \( S_ k(\Gamma_ 0(N)) \)：在尖点处取值为零的模形式（即傅里叶展开常数项为 0）。 显然 \( S_ k(\Gamma_ 0(N)) \subset M_ k(\Gamma_ 0(N)) \)，且两者都是有限维复向量空间。 第二步：维数公式的已知特例（\( N=1 \)） 当 \( N=1 \)（即全模群 \( SL_ 2(\mathbb{Z}) \)）时，维数公式较简单： 若 \( k < 0 \) 或 \( k \) 为奇数，则 \( M_ k(SL_ 2(\mathbb{Z})) = 0 \)。 若 \( k = 0 \)，则 \( M_ 0 \) 由常数函数构成，维数为 1。 若 \( k \ge 4 \) 为偶数，有 \[ \dim M_ k(SL_ 2(\mathbb{Z})) = \left\lfloor \frac{k}{12} \right\rfloor + 1 \quad (\text{若 } k \equiv 2 \pmod{12} \text{ 则减 1}) \] 更简洁的写法是： \[ \dim M_ k(SL_ 2(\mathbb{Z})) = \begin{cases} \left\lfloor \frac{k}{12} \right\rfloor + 1, & k \equiv 2 \pmod{12} \text{ 时取 } \lfloor k/12 \rfloor, \\ \left\lfloor \frac{k}{12} \right\rfloor + 1, & \text{否则} \end{cases} \] 实际上统一公式为： \[ \dim M_ k(SL_ 2(\mathbb{Z})) = \left\lfloor \frac{k}{12} \right\rfloor + 1 - \delta \quad \text{其中 } \delta = 1 \text{ 当 } k \equiv 2 \pmod{12}, \text{否则 } 0. \] 尖点形式维数为 \( \dim S_ k = \dim M_ k - 1 \)（当 \( k>0 \)）。 第三步：一般级 \( N \) 的维数公式（权 \( k \ge 2 \)） 一般情况需用黎曼-罗赫定理，考虑在模曲线 \( X_ 0(N) \) 上的线丛的截面空间。结果表达式较复杂，但可写为闭形式： 对 \( k \ge 2 \) 整数， \[ \dim M_ k(\Gamma_ 0(N)) = \frac{k-1}{12} \cdot \psi(N) + c_ 0(k,N) - \frac{\delta(N)}{2} \cdot s(k) + \varepsilon_ 2(k,N) + \varepsilon_ 3(k,N) \] 其中： \( \psi(N) = N \prod_ {p|N} (1 + \frac{1}{p}) \) 是 \( \Gamma_ 0(N) \) 的指数（即 \( [ SL_ 2(\mathbb{Z}):\Gamma_ 0(N)] \) 当 \( N>1 \) 时乘以某个因子，实际是 \( \Gamma_ 0(N) \) 的尖点个数相关量）。 \( c_ 0(k,N) \) 是与权 \( k \) 和级 \( N \) 有关的修正项（来自椭圆点）。 \( \delta(N) \) 是尖点个数（通常为 \( \sum_ {d|N} \phi(\gcd(d,N/d)) \)）。 \( s(k) \) 是权 \( k \) 的奇偶性相关（0 或 1）。 \( \varepsilon_ 2(k,N) \) 和 \( \varepsilon_ 3(k,N) \) 是来自阶为 2 和 3 的椭圆点的贡献，具体公式依赖于 \( k \mod 4 \) 和 \( k \mod 6 \) 以及 \( N \) 中质因子是否整除 \( N \) 且满足某些同余条件。 尖点形式维数为 \( \dim S_ k(\Gamma_ 0(N)) = \dim M_ k(\Gamma_ 0(N)) - t(N) \)，其中 \( t(N) \) 是尖点个数（因为每个尖点可给一个非尖点模形式）。 第四步：权 \( k=2 \) 的特殊情况 权 \( k=2 \) 时，公式简化为： \[ \dim S_ 2(\Gamma_ 0(N)) = \dim M_ 2(\Gamma_ 0(N)) - \text{尖点个数} \] 并且 \( \dim M_ 2(\Gamma_ 0(N)) \) 可用黎曼-罗赫定理得到与 \( X_ 0(N) \) 的亏格 \( g \) 的关系： \[ \dim S_ 2(\Gamma_ 0(N)) = g(X_ 0(N)) \] 这里 \( g(X_ 0(N)) \) 是模曲线 \( X_ 0(N) \) 的亏格，有公式： \[ g = 1 + \frac{\psi(N)}{12} - \frac{\nu_ 2(N)}{4} - \frac{\nu_ 3(N)}{3} - \frac{\nu_ \infty(N)}{2} \] 其中 \( \nu_ 2, \nu_ 3 \) 是椭圆点个数，\( \nu_ \infty \) 是尖点个数。 第五步：权 \( k=1 \) 的模形式维数 权 \( k=1 \) 的模形式维数公式较复杂，与 \( N \) 的分解和某些特征标相关，一般用 Serre–Tate 公式或通过表示论方法计算，涉及伽罗瓦表示与 Artin L-函数。 第六步：应用与意义 维数公式的重要性在于： 判断模形式空间是否非空（例如确定是否存在非常数模形式）。 在构造 Hecke 代数、研究模形式基时，知道维数可确定线性无关的个数。 在朗兰兹纲领中，维数公式与自守表示的多重数相关。 例如，若 \( \dim S_ k(\Gamma_ 0(N)) = 0 \)，则该权与级下没有非零尖点形式，从而某些 L-函数构造平凡。