模形式的艾森斯坦级数的傅里叶展开与拉马努金Δ函数 1. 模形式的基本回顾 模形式是复平面上的全纯函数，在离散群（如模群 \( SL_ 2(\mathbb{Z}) \)）的变换下具有特定对称性。其核心特征包括： 权 \( k \) ：决定函数在变换下的缩放行为 \( f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z) \)。 级 \( N \) ：对称群为同余子群 \( \Gamma_ 0(N) \) 时，定义模形式的级别。 傅里叶展开 ：由于周期性 \( f(z+1)=f(z) \)，可展开为 \( f(z) = \sum_ {n\geq 0} a_ n q^n \)，其中 \( q = e^{2\pi i z} \)。 2. 艾森斯坦级数的定义 对于权 \( k \geq 4 \) 的偶数， 艾森斯坦级数 是模形式空间的一组基，定义为： \[ E_ k(z) = \sum_ {(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \frac{1}{(mz+n)^k}. \] 通过归一化消除发散项，得到全纯形式： \[ G_ k(z) = \frac{(k-1)!}{2(2\pi i)^k} E_ k(z). \] 3. 傅里叶展开的推导 利用泊松求和公式或直接计算，可得 \( E_ k(z) \) 的傅里叶系数： \[ E_ k(z) = 1 - \frac{2k}{B_ k} \sum_ {n\geq 1} \sigma_ {k-1}(n) q^n, \] 其中： \( B_ k \) 是伯努利数（如 \( B_ 4 = -\frac{1}{30} \)）； \( \sigma_ {k-1}(n) = \sum_ {d\mid n} d^{k-1} \) 是除数函数。 4. 拉马努金Δ函数的引入 在权 \( k=12 \) 时，模形式空间维度为 1，但存在一个非零的 尖形式 （在无穷远处值为 0），即拉马努金Δ函数： \[ \Delta(z) = q \prod_ {n\geq 1} (1-q^n)^{24} = \sum_ {n\geq 1} \tau(n) q^n. \] 它可通过艾森斯坦级数构造： \[ \Delta(z) = \frac{E_ 4(z)^3 - E_ 6(z)^2}{1728}, \] 其中 \( E_ 4, E_ 6 \) 是权 4 和 6 的艾森斯坦级数。 5. 傅里叶系数的算术性质 艾森斯坦级数 的系数 \( \sigma_ {k-1}(n) \) 具有乘性（因除数函数乘性）。 拉马努金Δ函数 的系数 \( \tau(n) \)（拉马努金τ函数）满足： 乘性：\( \tau(mn) = \tau(m)\tau(n) \) 当 \( \gcd(m,n)=1 \)； 递推关系：\( \tau(p^{a+1}) = \tau(p)\tau(p^a) - p^{11}\tau(p^{a-1}) \) 对素数 \( p \)； 拉马努金猜想（德利涅证明）：\( |\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \)。 6. 几何与物理意义 Δ函数是模曲线（复模群的基本域）上的微分形式。 在弦理论中，Δ的 24 次幂与玻色子弦的配分函数相关。 7. 推广与深层问题 艾森斯坦级数可推广至高阶群（如西格尔模形式）。 τ函数的同余性质（如 \( \tau(p) \equiv p^{11}+1 \pmod{691} \)）与模进理论相关。 Δ函数是模形式中最小权（12）的尖形式，其L函数与朗兰兹纲领联系。