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数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续九）
我们继续深入探讨哈密顿-雅可比理论。在之前的讲解中，我们已经建立了哈密顿-雅可比方程，并理解了其完全积分如何通过一个正则变换将系统所有坐标变为常数，从而“一举”求解动力学问题。现在，我们将关注一个核心问题：如何实际求得这个至关重要的完全积分？ 我们将学习一种强大的方法——分离变量法。
步骤一：分离变量法的核心思想
哈密顿-雅可比方程是一个非线性偏微分方程，直接求解通常极其困难。分离变量法的天才之处在于，它不试图直接攻击这个复杂的偏微分方程，而是假设其解（即哈密顿主函数 \(S\)）具有一种特殊的、可分离的形式。
基本假设：如果哈密顿函数 \(H\) 不显含时间 \(t\)（即能量守恒），并且存在一个坐标系 \((q_1, q_2, ..., q_n)\)，使得哈密顿-雅可比方程的解 \(S\) 可以写为各坐标函数之和的形式：
\[S(q_1, q_2, ..., q_n, t) = W_1(q_1) + W_2(q_2) + ... + W_n(q_n) - Et \]
其中 \(E\) 是系统的总能量（常数），而 \(W(q) = \sum_{i=1}^n W_i(q_i)\) 被称为哈密顿特征函数。将它代入不显含时间的哈密顿-雅可比方程：
\[H\left(q_1, ..., q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, ..., \frac{\partial S}{\partial q_n}\right) = E \]
由于 \(\frac{\partial S}{\partial q_i} = \frac{dW_i}{dq_i}\)，方程变为：
\[H\left(q_1, ..., q_n, \frac{dW_1}{dq_1}, ..., \frac{dW_n}{dq_n}\right) = E \]
分离性的关键：如果这个偏微分方程可以“分离”成 \(n\) 个常微分方程，每个方程只包含一个变量 \(q_i\) 及其对应的导数 \(dW_i/dq_i\)，以及分离常数。那么，求解一个复杂的偏微分方程的问题，就简化为了求解 \(n\) 个相对简单的常微分方程。
步骤二：一个经典的例子——中心力场问题
让我们用一个具体的例子来阐明这个过程。考虑一个在平面内运动的粒子，其势能函数为 \(V(r)\)（例如，万有引力势能），使用极坐标 \((r, \theta)\)。
- 构建哈密顿量：
粒子的动能为 \(T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2)\)。
广义动量为：
\[ p_r = \frac{\partial T}{\partial \dot{r}} = m\dot{r}, \quad p_\theta = \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta} \]
因此，哈密顿量为：
\[ H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} + V(r) \]
由于 \(H\) 不显含 \(t\) 和 \(\theta\)，系统能量 \(E\) 和角动量 \(p_\theta\) 守恒。
- 建立哈密顿-雅可比方程：
写出哈密顿-雅可比方程，其中 \(p_r = \frac{\partial S}{\partial r}\)，\(p_\theta = \frac{\partial S}{\partial \theta}\)：
\[ H\left(r, \theta, \frac{\partial S}{\partial r}, \frac{\partial S}{\partial \theta}\right) = \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{2mr^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \theta}\right)^2 + V(r) = E \]
- 尝试分离变量：
我们假设解的形式为 \(S(r, \theta, t) = W_r(r) + W_\theta(\theta) - Et\)。
代入方程：
\[ \frac{1}{2m}\left(\frac{dW_r}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2mr^2}\left(\frac{dW_\theta}{d\theta}\right)^2 + V(r) = E \]
将含 \(\theta\) 的项移到一边：
\[ \frac{1}{2m}\left(\frac{dW_r}{dr}\right)^2 + V(r) - E = - \frac{1}{2mr^2}\left(\frac{dW_\theta}{d\theta}\right)^2 \]
这个等式的左边只依赖于 \(r\)，右边只依赖于 \(\theta\)。要使它对所有 \(r\) 和 \(\theta\) 都成立，两边必须等于同一个常数，记为 \(-\frac{\alpha_\theta^2}{2m}\)（这样设定是为了后续方便）。于是我们得到两个常微分方程：
- 关于 \(\theta\) 的方程：
\[ \frac{dW_\theta}{d\theta} = \alpha_\theta \]
解得 \(W_\theta(\theta) = \alpha_\theta \theta\)。
根据正则动量的定义，\(p_\theta = \frac{\partial S}{\partial \theta} = \frac{dW_\theta}{d\theta} = \alpha_\theta\)，所以分离常数 \(\alpha_\theta\) 就是角动量 \(p_\theta\)。
- 关于 \(r\) 的方程（径向方程）：
\[ \frac{1}{2m}\left(\frac{dW_r}{dr}\right)^2 + V(r) + \frac{\alpha_\theta^2}{2mr^2} = E \]
解得 \(\frac{dW_r}{dr} = \sqrt{2m\left[E - V(r) - \frac{\alpha_\theta^2}{2mr^2}\right]}\)。
于是 \(W_r(r) = \int \sqrt{2m\left[E - V(r) - \frac{\alpha_\theta^2}{2mr^2}\right]} dr\)。
- 得到完全积分：
哈密顿主函数为：
\[ S(r, \theta, E, \alpha_\theta, t) = \int^r \sqrt{2m\left[E - V(r) - \frac{\alpha_\theta^2}{2mr^2}\right]} dr + \alpha_\theta \theta - Et \]
这里 \(E\) 和 \(\alpha_\theta\) 是两个不可加性的积分常数。
步骤三：从完全积分到运动方程
现在，我们应用哈密顿-雅可比理论的一般步骤。将 \(S\) 视为生成函数 \(S(q, \alpha, t)\)，其中 \(q = (r, \theta)\)，\(\alpha = (\alpha_1, \alpha_2) = (E, \alpha_\theta)\)。
- 正则变换：新动量是常数 \(P_i = \alpha_i\)。
- 新坐标：新坐标 \(Q_i = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} = \beta_i\) 也是常数。
- 对于 \(\alpha_\theta\)：
\[ Q_{\alpha_\theta} = \beta_{\alpha_\theta} = \frac{\partial S}{\partial \alpha_\theta} = \theta - \int^r \frac{\alpha_\theta}{mr^2 \sqrt{\frac{2}{m}\left[E - V(r) - \frac{\alpha_\theta^2}{2mr^2}\right]}} dr \]
这个方程隐含地给出了轨道方程 \(\theta(r)\)。
- 对于 \(E\)：
\[ Q_E = \beta_E = \frac{\partial S}{\partial E} = \int^r \frac{m dr}{\sqrt{2m\left[E - V(r) - \frac{\alpha_\theta^2}{2mr^2}\right]}} - t \]
这个方程给出了 \(r\) 与时间 \(t\) 的关系 \(t(r)\)。
通过求解这两个代数方程（虽然积分可能复杂），我们原则上可以完全确定粒子的运动轨迹 \(r(t)\) 和 \(\theta(t)\)。这正是分离变量法结合哈密顿-雅可比理论的威力所在：它将求解运动微分方程的问题，转化为寻找一个特定形式的偏微分方程解，并通过求导和积分来得到运动规律。