广义函数空间D'(Ω)上的傅里叶变换 第一步：广义函数空间D'(Ω)的回顾与傅里叶变换的动机 我们已知，对于速降函数空间（Schwartz空间）S(Rⁿ)中的函数，经典傅里叶变换是一个双射，且变换及其逆变换都是连续映射。然而，许多重要函数（如常数函数、指数函数）不属于S(Rⁿ)或L¹(Rⁿ)，无法直接定义经典傅里叶变换。为解决此问题，我们需将傅里叶变换推广到广义函数空间D'(Ω)（特别是当Ω=Rⁿ时）。核心思想是利用对偶性：通过测试函数的傅里叶变换来定义广义函数的傅里叶变换。 第二步：缓增广义函数空间S'(Rⁿ)的引入 直接对D'(Rⁿ)定义傅里叶变换会遇到技术困难，因为测试函数空间D(Rⁿ)（紧支撑光滑函数）的傅里叶变换并不落在D(Rⁿ)内（其像函数非紧支撑）。因此，我们需转向一个更合适的空间：缓增广义函数空间S'(Rⁿ)。 S(Rⁿ)（速降函数空间）：由所有满足任意阶导数速降的光滑函数组成，其拓扑由半范数族定义。 S'(Rⁿ)：S(Rⁿ)的拓扑对偶空间，即所有连续线性泛函T: S(Rⁿ) → C。其元素称为缓增广义函数。 关系：由于D(Rⁿ) ⊂ S(Rⁿ)且嵌入连续稠密，故S'(Rⁿ) ⊂ D'(Rⁿ)。S'(Rⁿ)包含了常见广义函数，如多项式有界函数、δ函数及其导数。 第三步：S'(Rⁿ)上傅里叶变换的定义 基于对偶性，定义傅里叶变换F: S'(Rⁿ) → S'(Rⁿ)如下： 对于任意T ∈ S'(Rⁿ)，其傅里叶变换F[ T ] ∈ S'(Rⁿ)定义为： 〈F[ T], φ〉 := 〈T, F[ φ ]〉, 对所有φ ∈ S(Rⁿ)成立。 这里，F[ φ]是测试函数φ的经典傅里叶变换（属于S(Rⁿ)）。该定义是合理的，因为经典傅里叶变换F: S(Rⁿ) → S(Rⁿ)是连续线性同构，故F[ T ]确是S'(Rⁿ)中的连续线性泛函。 第四步：基本性质与计算示例 连续性 ：傅里叶变换F: S'(Rⁿ) → S'(Rⁿ)是连续线性算子。 反转公式 ：逆傅里叶变换F⁻¹可类似定义，且满足F⁻¹[ F[ T] ] = T，即傅里叶变换在S'(Rⁿ)上是双射。 微分与乘法性质 ：广义函数的傅里叶变换继承经典变换的代数性质，例如： F[ ∂ᵅT] = (iξ)ᵅ F[ T ]（微分对应乘法） F[ xᵅT] = iᵅ∂ᵅF[ T ]（乘法对应微分） 典型例子 ： δ函数的傅里叶变换：〈F[ δ], φ〉 = 〈δ, F[ φ]〉 = F φ = ∫φ(x)dx = 〈1, φ〉，故F[ δ ] = 1（常数函数1）。 常数函数1的傅里叶变换：〈F[ 1], φ〉 = 〈1, F[ φ]〉 = ∫F φ dξ = (2π)ⁿφ(0) = (2π)ⁿ〈δ, φ〉，故F[ 1 ] = (2π)ⁿδ。 第五步：与经典理论的一致性及应用 当广义函数T对应于某个L²函数f时，其傅里叶变换与经典L²理论的Plancherel定理一致。S'(Rⁿ)上的傅里叶变换为偏微分方程理论提供核心工具，例如： 通过傅里叶变换将微分方程转化为代数方程，求解后再逆变换得到解。 在分布理论中定义基本解、研究正则性。