模形式的艾森斯坦级数的p进插值性质 我们先从模形式的基本概念开始。模形式是在复上半平面上的全纯函数，满足特定的函数方程。艾森斯坦级数是一类重要的模形式，通常记为 \( E_ k(z) \)，其中 \( k \) 是权（一个正整数）。对于偶数 \( k \geq 4 \)，级数定义为： \[ E_ k(z) = \frac{1}{2} \sum_ {(m,n) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\}} \frac{1}{(mz + n)^k}. \] 这个级数在模群 \( \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \) 的作用下不变，并且是全纯的。艾森斯坦级数是模形式空间的基础构建块，因为它们相对简单且显式。 艾森斯坦级数的傅里叶展开包含重要的算术信息。对于偶数 \( k \)，展开式为： \[ E_ k(z) = 1 - \frac{2k}{B_ k} \sum_ {n=1}^{\infty} \sigma_ {k-1}(n) q^n, \] 其中 \( q = e^{2\pi i z} \)，\( B_ k \) 是伯努利数，而 \( \sigma_ {k-1}(n) = \sum_ {d|n} d^{k-1} \) 是除数函数。这个展开显示了系数与数论函数的直接联系，例如伯努利数编码了zeta函数的特殊值。 接下来，我们考虑p进性质。p进数域 \( \mathbb{Q}_ p \) 提供了分析数论问题的新视角。一个关键思想是插值：能否将艾森斯坦级数视为变元的函数，并在p进意义上连续依赖于参数？具体地，我们关注权 \( k \) 作为变量。当 \( k \) 在整数中变化时，艾森斯坦级数形成一族对象，但传统上 \( k \) 是离散的。p进插值旨在构造一个p进解析函数，在整数点上取值与原级数相关。 为实现插值，我们需要p进测度。在岩泽理论中，p进测度允许我们通过积分来插值序列。对于艾森斯坦级数，关键步骤是将其傅里叶系数与狄利克雷L函数联系起来。例如，对于狄利克雷特征 \( \chi \)， twisted艾森斯坦级数的常数项涉及 \( L(1-k, \chi) \)。由于伯努利数出现在L函数的特殊值中，而伯努利数本身可以被p进插值（通过库默同余），这提供了插值的基础。 更精确地，考虑艾森斯坦级数的常数项。通过选取合适的归一化，我们可以定义p进艾森斯坦级数。这个过程涉及移除p进不连续的部分（如p可除性条件），并利用p进L函数。p进L函数是复L函数的p进类比，它们在p进数域上解析，并插值L函数的特殊值。结果，p进艾森斯坦级数是一个p进模形式，其权可以取p进整数（例如在 \( \mathbb{Z}_ p \) 中），并且在整数权时还原到经典艾森斯坦级数。 这种插值性质在p进自守形式理论中至关重要，因为它允许我们研究模形式的p进族，从而连接不同权的模形式。这在现代数论中用于证明同余关系和研究p进L函数的性质。