遍历理论中的随机矩阵乘积与不变测度的存在性 随机矩阵乘积的基本概念 随机矩阵乘积研究形如 \(P_ n = A_ n A_ {n-1} \cdots A_ 1\) 的乘积序列，其中每个 \(A_ k\) 是随机选取的矩阵（通常属于某个紧群或半群，如 \(\mathrm{SL}(d,\mathbb{R})\)）。核心问题是分析 \(P_ n\) 的渐近行为（如最大李雅普诺夫指数、方向分布）。随机性可能源于独立同分布矩阵序列，或更一般的平稳遍历过程。 线性随机动力系统的框架 将随机矩阵乘积与线性随机动力系统关联：考虑系统 \(x_ {n+1} = A_ n x_ n\)，其中 \(x_ n \in \mathbb{R}^d\)。该系统可提升为射影空间 \(\mathbb{P}^{d-1}\) 上的动力系统：若 \(\bar{x} n\) 是 \(x_ n\) 的射影坐标，则 \(\bar{x} {n+1} = \frac{A_ n \bar{x}_ n}{\|A_ n \bar{x}_ n\|}\)。这一提升将矩阵乘法转化为射影空间上的映射迭代。 不变测度的存在性问题 在 \(\mathbb{P}^{d-1}\) 上，系统的随机动力学由转移概率核描述。对任意初始方向 \(\bar{x} \in \mathbb{P}^{d-1}\)，序列 \(\{\bar{x}_ n\}\) 生成一个马尔可夫过程。关键目标是证明存在概率测度 \(\mu\) 在 \(\mathbb{P}^{d-1}\) 上，使得 \(\mu\) 在该马尔可夫过程下不变（即 \(\mu\) 是转移算子的不动点）。 存在性的证明思路（Furstenberg-Kesten理论） 紧性论证 ：射影空间 \(\mathbb{P}^{d-1}\) 是紧度量空间，概率测度集合在弱拓扑下紧。转移算子的对偶作用在该集合上连续，故由Schauder-Tychonoff定理存在不动点（即不变测度）。 随机矩阵的不可约性 ：若矩阵集合生成群不可约（即无公共不变真子空间），则不变测度唯一且支持集全空间。可约情形下，不变测度可能退化到子空间。 积分条件 ：若 \(\mathbb{E}[ \log^+ \|A_ 1\|] < \infty\)（可积性条件），则系统满足随机动力系统的遍历定理前提，保证渐近性态良好。 不变测度的遍历意义 不变测度 \(\mu\) 编码了随机矩阵乘积的长期统计行为：对几乎每个随机序列 \(\{A_ n\}\) 和初始向量 \(x\)，方向 \(\bar{x} n\) 的分布弱收敛到 \(\mu\)。进一步，\(\mu\) 与最大李雅普诺夫指数 \(\lambda_ 1\) 相关：\(\lambda_ 1 = \lim {n \to \infty} \frac{1}{n} \log \|P_ n\| = \int \log \frac{\|A x\|}{\|x\|} d\mu(\bar{x}) d\nu(A)\)，其中 \(\nu\) 是矩阵分布的测度。 与刚性现象的关联 若矩阵分布受小扰动（如逼近对角矩阵），不变测度 \(\mu\) 可能突然变化（不连续性），或在某些代数条件下保持稳定（刚性）。例如，当矩阵群是分裂的且满足强不可约条件时，\(\mu\) 对参数的依赖可能呈现霍尔德连续性，而非一般情形下的仅可测依赖性。