复变函数的伯格曼核与再生核希尔伯特空间 我们先从再生核希尔伯特空间（RKHS）的基本概念开始。一个希尔伯特空间是由具有内积的完备向量空间。若该空间由在某区域上定义的函数构成，且对区域中每一点 \( z_ 0 \)，求值泛函 \( f \mapsto f(z_ 0) \) 是连续（即有界）的，则称该空间为再生核希尔伯特空间。此连续性保证了存在一个函数 \( K(z, z_ 0) \)，使得空间内任意函数 \( f \) 在 \( z_ 0 \) 点的值可以表示为与 \( K \) 的内积：\( f(z_ 0) = \langle f, K(\cdot, z_ 0) \rangle \)。这个函数 \( K(z, \zeta) \) 就称为该空间的再生核。 接下来，我们考虑在复平面上的一个有界区域 \( D \) 上全体平方可积的全纯函数构成的集合，即伯格曼空间 \( A^2(D) \)。具体来说，函数 \( f: D \to \mathbb{C} \) 需要满足全纯且 \( \iint_ D |f(z)|^2 \, dA(z) < \infty \)，其中 \( dA \) 是面积元素。可以证明，\( A^2(D) \) 在函数加法与数乘下构成一个向量空间，并可以定义内积 \( \langle f, g \rangle = \iint_ D f(z) \overline{g(z)} \, dA(z) \)。进一步地，该空间是完备的，因此是一个希尔伯特空间。关键的是，对于有界区域 \( D \) 内的任意一点 \( z_ 0 \)，求值泛函在 \( A^2(D) \) 上是有界的。因此，\( A^2(D) \) 是一个再生核希尔伯特空间，其再生核 \( K_ D(z, \zeta) \) 就称为区域 \( D \) 的伯格曼核。 伯格曼核具有几个重要性质。它是关于变量 \( z \) 全纯、关于变量 \( \zeta \) 反全纯的函数。它满足共轭对称性：\( K_ D(z, \zeta) = \overline{K_ D(\zeta, z)} \)。并且具有再生性：对任意 \( f \in A^2(D) \) 和 \( \zeta \in D \)，有 \( f(\zeta) = \iint_ D f(z) \overline{K_ D(z, \zeta)} \, dA(z) \)。此外，伯格曼核在 \( z = \zeta \) 处的值 \( K_ D(z, z) \) 是正实数，并且可以导出区域 \( D \) 上的一个重要的几何对象——伯格曼度量。 伯格曼核的计算通常依赖于选取 \( A^2(D) \) 的一组标准正交基 \( \{\phi_ n(z)\} {n=0}^{\infty} \)。那么，伯格曼核可以表示为 \( K_ D(z, \zeta) = \sum {n=0}^{\infty} \phi_ n(z) \overline{\phi_ n(\zeta)} \)，并且这个级数在 \( D \) 的紧子集上是一致收敛的。例如，对于单位圆盘 \( D = \{ z: |z| < 1 \} \)，可以取标准正交基为 \( \phi_ n(z) = \sqrt{\frac{n+1}{\pi}} z^n \)，从而计算出其伯格曼核为 \( K_ D(z, \zeta) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{(1 - z\bar{\zeta})^2} \)。 伯格曼核在复分析和几何中有着广泛的应用。由 \( K_ D(z, z) \) 可以定义伯格曼度量，其度规张量为 \( g_ {z\bar{z}} = \frac{\partial^2}{\partial z \partial \bar{z}} \log K(z, z) \)。这个度量在全纯自同构下是不变的，并且对于单位圆盘，它 coincides with the Poincaré metric（庞加莱度量）。伯格曼核也在复几何的变形理论以及多复变函数论中扮演着核心角色。