双曲抛物面的主方向与曲率线（续）
字数 2171 2025-12-03 16:48:06

双曲抛物面的主方向与曲率线（续）

双曲抛物面的主方向与曲率线是微分几何中研究曲面局部几何性质的重要概念。我们之前已经介绍了主方向和曲率线的基本定义，现在我们将深入探讨如何具体求解双曲抛物面上的主方向和曲率线。

  1. 回顾双曲抛物面的标准形与参数化
    双曲抛物面的标准方程为 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)。一个常用的参数化表示为：
    \(\vec{r}(u, v) = (a(u+v), b(u-v), 2uv)\)。
    这里，\(u\) 和 \(v\) 是参数。这个参数化可以很好地反映其直纹面性质（由两族直线构成），但我们现在关心的是其曲率特性。

  2. 计算曲面的基本形式
    为了求解主方向，我们需要曲面的第一基本形式和第二基本形式的系数。

    • 计算一阶偏导数：
      \(\vec{r}_u = (a, b, 2v)\)
      \(\vec{r}_v = (a, -b, 2u)\)
    • 第一基本形式的系数 (E, F, G)：
      \(E = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_u = a^2 + b^2 + 4v^2\)
      \(F = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_v = a^2 - b^2 + 4uv\)
      \(G = \vec{r}_v \cdot \vec{r}_v = a^2 + b^2 + 4u^2\)
    • 计算法向量和二阶偏导数：
      法向量 \(\vec{N} = \frac{\vec{r}_u \times \vec{r}_v}{|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|}\)（具体表达式稍复杂，但方向已知）。
      \(\vec{r}_{uu} = (0, 0, 0)\)
      \(\vec{r}_{uv} = (0, 0, 2)\)
      \(\vec{r}_{vv} = (0, 0, 0)\)
    • 第二基本形式的系数 (L, M, N)：
      \(L = \vec{r}_{uu} \cdot \vec{N} = 0\)
      \(M = \vec{r}_{uv} \cdot \vec{N} = \frac{2ab}{\sqrt{a^2b^2 + b^4u^2 + a^4v^2 + ...}}\)（具体形式依赖于 \(\vec{N}\) 的归一化，但其比值更重要）
      \(N = \vec{r}_{vv} \cdot \vec{N} = 0\)
      一个关键的观察是：\(L = N = 0\)。这极大地简化了后续计算。

  3. 求解主方向
    主方向是满足方程 \((EM - FL) du^2 + (EN - GL) dudv + (FN - GM) dv^2 = 0\) 的方向 \((du : dv)\)。
    由于 \(L = N = 0\)，这个方程简化为：
    \((EM)(du)^2 + (-GM)(dudv) + (F*0 - G*0)(dv)^2 = 0\)。
    进一步简化（假设 \(M \neq 0\)）：
    \(E du^2 - G dudv = 0\)。
    这可以分解为：
    \(du (E du - G dv) = 0\)。
    于是我们得到两个主方向：

  • 主方向 1: \(du = 0\)。在参数域中，这表示 \(u =\) 常数 的曲线方向，即沿着 \(v\) 参数增加的方向。
  • 主方向 2: \(E du - G dv = 0\)，即 \(\frac{du}{dv} = \frac{G}{E}\)。这是一个微分方程，描述了第二个主方向场。
  1. 确定曲率线
    曲率线是曲面上始终沿着主方向的曲线。因此，我们通过积分主方向对应的微分方程来找到曲率线。
  • 第一族曲率线：对应于主方向 \(du = 0\)（即 \(u =\) 常数）。在参数域 \((u, v)\) 中，这是平行于 \(v\)-轴的直线。映射到双曲抛物面上，这恰好是它的一族直母线（直线）。
  • 第二族曲率线：对应于主方向 \(\frac{du}{dv} = \frac{G}{E} = \frac{a^2 + b^2 + 4u^2}{a^2 + b^2 + 4v^2}\)。
    这个微分方程可以分离变量：\((a^2 + b^2 + 4u^2) du = (a^2 + b^2 + 4v^2) dv\)。
    积分两边得到：\((a^2+b^2)u + \frac{4}{3}u^3 = (a^2+b^2)v + \frac{4}{3}v^3 + C\)，
    其中 \(C\) 是常数。这个方程定义了参数域中的一族曲线，它们映射到双曲抛物面上就是第二族曲率线。这族曲线不是直线，而是复杂的空间曲线。
  1. 几何意义总结
    在双曲抛物面这个马鞍形曲面上，其曲率线由两族相互正交的曲线构成：
    • 一族是直母线（直线）。
    • 另一族是弯曲的曲线，与直母线在每一点都垂直相交。
      主方向给出了曲面在该点处弯曲最剧烈和最平缓的方向。对于双曲抛物面，由于其高斯曲率处处为负，两个主曲率异号，这反映了它马鞍形的本质。曲率线网为研究曲面的弯曲模式提供了一个自然的“坐标系”。
双曲抛物面的主方向与曲率线（续） 双曲抛物面的主方向与曲率线是微分几何中研究曲面局部几何性质的重要概念。我们之前已经介绍了主方向和曲率线的基本定义，现在我们将深入探讨如何具体求解双曲抛物面上的主方向和曲率线。 回顾双曲抛物面的标准形与参数化 双曲抛物面的标准方程为 \( z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \)。一个常用的参数化表示为： \( \vec{r}(u, v) = (a(u+v), b(u-v), 2uv) \)。 这里，\( u \) 和 \( v \) 是参数。这个参数化可以很好地反映其直纹面性质（由两族直线构成），但我们现在关心的是其曲率特性。 计算曲面的基本形式 为了求解主方向，我们需要曲面的第一基本形式和第二基本形式的系数。 计算一阶偏导数 ： \( \vec{r}_ u = (a, b, 2v) \) \( \vec{r}_ v = (a, -b, 2u) \) 第一基本形式的系数 (E, F, G) ： \( E = \vec{r}_ u \cdot \vec{r}_ u = a^2 + b^2 + 4v^2 \) \( F = \vec{r}_ u \cdot \vec{r}_ v = a^2 - b^2 + 4uv \) \( G = \vec{r}_ v \cdot \vec{r}_ v = a^2 + b^2 + 4u^2 \) 计算法向量和二阶偏导数 ： 法向量 \( \vec{N} = \frac{\vec{r}_ u \times \vec{r} v}{|\vec{r} u \times \vec{r} v|} \)（具体表达式稍复杂，但方向已知）。 \( \vec{r} {uu} = (0, 0, 0) \) \( \vec{r} {uv} = (0, 0, 2) \) \( \vec{r} {vv} = (0, 0, 0) \) 第二基本形式的系数 (L, M, N) ： \( L = \vec{r} {uu} \cdot \vec{N} = 0 \) \( M = \vec{r} {uv} \cdot \vec{N} = \frac{2ab}{\sqrt{a^2b^2 + b^4u^2 + a^4v^2 + ...}} \)（具体形式依赖于 \( \vec{N} \) 的归一化，但其比值更重要） \( N = \vec{r}_ {vv} \cdot \vec{N} = 0 \) 一个关键的观察是：\( L = N = 0 \)。这极大地简化了后续计算。 求解主方向 主方向是满足方程 \( (EM - FL) du^2 + (EN - GL) dudv + (FN - GM) dv^2 = 0 \) 的方向 \( (du : dv) \)。 由于 \( L = N = 0 \)，这个方程简化为： \( (EM)(du)^2 + (-GM)(dudv) + (F 0 - G 0)(dv)^2 = 0 \)。 进一步简化（假设 \( M \neq 0 \)）： \( E du^2 - G dudv = 0 \)。 这可以分解为： \( du (E du - G dv) = 0 \)。 于是我们得到两个主方向： 主方向 1 : \( du = 0 \)。在参数域中，这表示 \( u = \) 常数 的曲线方向，即沿着 \( v \) 参数增加的方向。 主方向 2 : \( E du - G dv = 0 \)，即 \( \frac{du}{dv} = \frac{G}{E} \)。这是一个微分方程，描述了第二个主方向场。 确定曲率线 曲率线是曲面上始终沿着主方向的曲线。因此，我们通过积分主方向对应的微分方程来找到曲率线。 第一族曲率线 ：对应于主方向 \( du = 0 \)（即 \( u = \) 常数）。在参数域 \( (u, v) \) 中，这是平行于 \( v \)-轴的直线。映射到双曲抛物面上，这恰好是它的一族直母线（直线）。 第二族曲率线 ：对应于主方向 \( \frac{du}{dv} = \frac{G}{E} = \frac{a^2 + b^2 + 4u^2}{a^2 + b^2 + 4v^2} \)。 这个微分方程可以分离变量：\( (a^2 + b^2 + 4u^2) du = (a^2 + b^2 + 4v^2) dv \)。 积分两边得到：\( (a^2+b^2)u + \frac{4}{3}u^3 = (a^2+b^2)v + \frac{4}{3}v^3 + C \)， 其中 \( C \) 是常数。这个方程定义了参数域中的一族曲线，它们映射到双曲抛物面上就是第二族曲率线。这族曲线不是直线，而是复杂的空间曲线。 几何意义总结 在双曲抛物面这个马鞍形曲面上，其曲率线由两族相互正交的曲线构成： 一族是直母线（直线）。 另一族是弯曲的曲线，与直母线在每一点都垂直相交。 主方向给出了曲面在该点处弯曲最剧烈和最平缓的方向。对于双曲抛物面，由于其高斯曲率处处为负，两个主曲率异号，这反映了它马鞍形的本质。曲率线网为研究曲面的弯曲模式提供了一个自然的“坐标系”。