二次型的自守L-函数的p进L函数与Iwasawa理论的特殊特殊值 我们首先回顾二次型的自守L函数。设Q是一个整系数正定二次型，其自守L函数L(s, Q)由狄利克雷级数定义，可解析延拓到整个复平面。该函数在整数点s = m处有特殊值，这些值包含Q的算术信息。 接下来考虑p进性质。对于素数p，我们希望构造L(s, Q)的p进版本。这通过将复特殊值替换为p进插值实现。具体地，p进L函数L_ p(s, Q)是p进解析函数，满足插值性质：对某些整数m，L_ p(m, Q)与L(m, Q)的代数部分成比例，比例因子是p进周期和局部因子。 Iwasawa理论提供框架研究p进L函数。考虑Z_ p-扩张（即伽罗瓦群同构于p进整数环Z_ p的无限扩张）。在该扩张中，L_ p(s, Q)对应于Iwasawa环上的元素。其系数编码了沿塔的算术不变量（如类数）的变化。 特殊值的p进性质与Iwasawa不变量相关。例如，L_ p(s, Q)在s=1处的导数可能与p进高度或正则化p进周期有关，反映Q的p进算术性质。若Q对应椭圆曲线，这与p进BSD猜想关联，其中L_ p(1, Q)的消失阶联系于曲线在p点的秩。 最后，p进L函数与Iwasawa理论共同揭示特殊值的深层结构。例如，通过Iwasawa主猜想，p进L函数生成的特征理想应与Selmer群的特征理想相等，从而将解析对象与算术对象对应，为特殊值提供p进算术解释。