里斯-索伯列夫空间中的Rellich-Kondrachov紧嵌入定理

1. 背景与动机
   在偏微分方程和变分法中，我们常需研究函数序列在某种范数下的收敛性。若一个空间能紧嵌入另一个空间，即单位球是预紧集，则任意有界序列必有收敛子列，这为解的存在性提供了关键工具。Rellich-Kondrachov定理描述了索伯列夫空间在特定条件下的紧嵌入性质，是分析学中的核心结果。

2. 预备概念：索伯列夫空间与嵌入

   • 索伯列夫空间 \(W^{k,p}(\Omega)\)：设 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 是有界开集，\(k \geq 1\) 为整数，\(1 \leq p \leq \infty\)。该空间由所有函数 \(u \in L^p(\Omega)\) 构成，其弱导数 \(D^\alpha u\) 属于 \(L^p(\Omega)\)（对 \(|\alpha| \leq k\)），范数为 \(\|u\|_{W^{k,p}} = \left( \sum_{|\alpha| \leq k} \|D^\alpha u\|_{L^p}^p \right)^{1/p}\)。
   • 连续嵌入：若 \(W^{k,p}(\Omega) \subset X\) 且恒等映射 \(I: W^{k,p} \to X\) 连续，则称索伯列夫空间连续嵌入到空间 \(X\)（例如 \(X = L^q(\Omega)\)）。此时，存在常数 \(C > 0\) 使得 \(\|u\|_X \leq C \|u\|_{W^{k,p}}\)。

3. 紧嵌入的定义
   若嵌入映射 \(I: W^{k,p}(\Omega) \to X\) 是紧算子（即把有界集映射为预紧集），则称嵌入是紧的。具体地，若序列 \(\{u_m\} \subset W^{k,p}\) 满足 \(\sup_m \|u_m\|_{W^{k,p}} < \infty\)，则存在子列 \(\{u_{m_j}\}\) 在 \(X\) 中收敛。

4. Rellich-Kondrachov定理的表述
   设 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 是有界 Lipschitz 域，\(k \geq 1\)，\(1 \leq p < \infty\)。则以下紧嵌入成立：

   • 若 \(kp < n\)，则 \(W^{k,p}(\Omega) \Subset L^q(\Omega)\) 对所有 \(1 \leq q < p^*\) 成立，其中 \(p^* = \frac{np}{n-kp}\) 是临界指数；
   • 若 \(kp = n\)，则 \(W^{k,p}(\Omega) \Subset L^q(\Omega)\) 对所有 \(1 \leq q < \infty\) 成立；
   • 若 \(kp > n\)，则 \(W^{k,p}(\Omega) \Subset C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})\)，其中 \(\alpha = k - \frac{n}{p}\)（若 \(k - \frac{n}{p}\) 非整数，则取 \(\alpha\) 为小于该值的最大整数阶 Hölder 空间）。

5. 关键证明思路

   • 步骤1：通过延拓与卷积正则化。利用 \(\Omega\) 的 Lipschitz 性质，将函数延拓到更大的域，再用磨光算子逼近，得到一列光滑函数。
   • 步骤2：应用Arzelà-Ascoli定理。当 \(kp > n\) 时，利用索伯列夫嵌入的 Hölder 连续性证明等度连续性，结合一致有界性推出紧嵌入到连续函数空间。
   • 步骤3：Rellich引理与对偶性。当 \(kp \leq n\) 时，先证明 \(W^{1,p}(\Omega) \Subset L^p(\Omega)\)，再通过迭代和对偶论证推广到高阶情况。核心是证明若序列在 \(W^{k,p}\) 中有界，则在 \(L^q\) 中满足柯西条件。

6. 应用示例
   该定理常用于证明椭圆型偏微分方程解的存在性。例如，考虑变分问题 \(\min_{u \in W^{1,2}} \int_\Omega |\nabla u|^2 dx\)，极小化序列的有界性结合 \(W^{1,2} \Subset L^2\) 可推出强收敛子列，从而得到极小元。

7. 注记与推广

   • 若 \(\Omega\) 非 Lipschitz 域（如带尖点），紧嵌入可能失效。
   • 定理可推广至分数阶索伯列夫空间 \(W^{s,p}\)（\(s \in \mathbb{R}^+\)）及无界域中的局部紧嵌入。
   • 在流形或度量测度空间上，需调整几何条件以保证紧性。