马尔可夫链的遍历性（Ergodicity of Markov Chains） 第一步：马尔可夫链的基本定义 马尔可夫链是一类随机过程，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态，而与过去状态无关（马尔可夫性）。数学上，若随机序列 \(X_ 0, X_ 1, X_ 2, \ldots\) 满足： \[ P(X_ {n+1} = j \mid X_ n = i, X_ {n-1}, \ldots, X_ 0) = P(X_ {n+1} = j \mid X_ n = i), \] 则称其为马尔可夫链。其中，条件概率 \(P(X_ {n+1} = j \mid X_ n = i)\) 称为 转移概率 ，通常记为 \(p_ {ij}\)。 第二步：状态分类与不可约性 马尔可夫链的状态可根据其连通性分类： 可达性 ：若从状态 \(i\) 出发，经有限步到达状态 \(j\) 的概率为正，则称 \(j\) 从 \(i\) 可达。 不可约性 ：若链中任意两状态均相互可达，则称链为 不可约 。不可约性是遍历性的重要前提，因为它保证了状态空间无法被分解为互不连通的子集。 第三步：周期性与非周期性 状态的 周期 定义为所有可能返回步数的最大公约数。若周期为 1，则状态是非周期的；若所有状态非周期且不可约，则链称为 非周期马尔可夫链 。非周期性避免了状态在固定周期内循环，是收敛到稳态分布的必要条件。 第四步：平稳分布的存在性与唯一性 对于有限状态不可约非周期马尔可夫链，存在唯一的 平稳分布 \(\pi\)，满足： \[ \pi_ j = \sum_ i \pi_ i p_ {ij}, \quad \sum_ j \pi_ j = 1. \] 平稳分布的意义是：若初始状态按 \(\pi\) 分布，则未来任意时刻的状态分布仍为 \(\pi\)。 第五步：遍历性的定义与意义 遍历性要求链的 时间平均 等于 空间平均 。具体地，若对任意状态 \(i, j\) 及任意初始状态 \(i_ 0\)，满足： \[ \lim_ {n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_ {k=1}^n P(X_ k = j \mid X_ 0 = i_ 0) = \pi_ j, \] 则称链具有遍历性。这意味着长期来看，链访问各状态的比例收敛于平稳分布 \(\pi\)，且与初始状态无关。 第六步：遍历性在金融中的应用 风险建模 ：遍历性可用于分析信用评级迁移的长期分布，例如通过马尔可夫链模拟企业信用等级的稳态概率。 市场状态转换 ：资产价格波动可建模为不同市场状态（如高波动、低波动）间的马尔可夫转移，遍历性帮助估计各状态的长期出现频率。 蒙特卡洛方法 ：在MCMC算法中，遍历性保证采样分布收敛于目标分布，是参数估计可靠性的基础。 第七步：理论与实际的联系 遍历性成立需满足不可约性、非周期性和状态空间有限（或更一般的正常返性）。在实际金融模型中，需通过统计检验验证这些条件（如检验状态转移矩阵的本征值）。若条件不满足，长期统计可能依赖初始状态，导致结论偏差。