复变函数的延森公式

字数 1917 2025-12-03 06:43:04

复变函数的延森公式

1. 背景与动机

延森公式是复分析中连接函数零点分布与函数模长的重要工具。它可视为辐角原理的深化，定量描述了单位圆盘（或更一般区域）内函数的零点与其边界值之间的关系。公式由丹麦数学家约翰·延森提出，在值分布理论、整函数增长性分析中具有核心地位。

2. 公式的初步形式（单位圆盘情形）

设函数 \(f(z)\) 在闭单位圆盘 \(\overline{D} = \{ |z| \leq 1 \}\) 上全纯，且 \(f(0) \neq 0\)。若 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 是 \(f(z)\) 在 \(|z| < 1\) 内的零点（按重数计），则延森公式为：

\[\log |f(0)| = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log |f(e^{i\theta})| \, d\theta - \sum_{k=1}^n \log \frac{1}{|a_k|}. \]

解释：

左端 \(\log |f(0)|\) 反映函数在圆心的模长。
右端第一项是 \(\log |f(z)|\) 在单位圆周上的平均值，体现边界对函数的影响。
第二项 \(\sum \log \frac{1}{|a_k|}\) 量化了零点对函数模的“消耗”：零点越靠近圆心（\(|a_k|\) 越小），其贡献越大。

3. 公式的证明思路

无零点情形：若 \(f(z)\) 在 \(|z| \leq 1\) 内无零点，则 \(\log |f(z)|\) 是调和函数，由泊松积分公式直接推出 \(\log |f(0)|\) 等于边界值的平均。
有零点情形：构造 Blaschke 乘积

\[B(z) = \prod_{k=1}^n \frac{z - a_k}{1 - \overline{a_k} z}, \]

消去零点后，函数 \(g(z) = f(z) / B(z)\) 在 \(|z| \leq 1\) 内无零点且 \(|g(e^{i\theta})| = |f(e^{i\theta})|\)。对 \(g(z)\) 应用无零点情形的结论，结合 \(|B(0)| = \prod |a_k|\) 即得公式。

4. 推广到一般圆盘 \(|z| < R\)

设 \(f(z)\) 在 \(|z| \leq R\) 上全纯，零点为 \(a_1, \dots, a_n\)（含重数），且 \(f(0) \neq 0\)，则：

\[\log |f(0)| = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log |f(Re^{i\theta})| \, d\theta - \sum_{k=1}^n \log \frac{R}{|a_k|}. \]

注：当 \(R \to \infty\)，该公式可用于研究整函数的零点分布与增长阶（如结合哈伊纳定理）。

5. 与泊松公式的关系

延森公式可视为调和函数泊松公式的推广：若 \(f(z)\) 无零点，则 \(\log |f(z)|\) 调和，泊松公式给出

\[\log |f(z)| = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R^2 - |z|^2}{|Re^{i\theta} - z|^2} \log |f(Re^{i\theta})| \, d\theta. \]

延森公式相当于取 \(z=0\) 并加入零点修正项。

6. 应用示例：整函数的增长性

对整函数 \(f(z)\)，令 \(n(r)\) 表示 \(|z| \leq r\) 内的零点个数，延森公式可改写为：

\[\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log |f(re^{i\theta})| \, d\theta = \log |f(0)| + \int_0^r \frac{n(t)}{t} \, dt. \]

此式将函数模的平均增长与零点计数函数 \(n(t)\) 联系起来，是研究整函数值分布的基础。

7. 补充说明

若 \(f(0) = 0\)，公式需调整为零点的阶数修正。
延森公式可推广到亚纯函数（计入极点贡献），此时公式中减去极点项的贡献。
在复动力系统中，延森公式用于分析周期点的分布。

通过以上步骤，延森公式从几何直观到严格证明，再到推广应用，逐步揭示了函数零点与模长之间的深刻联系。

复变函数的延森公式 1. 背景与动机延森公式是复分析中连接函数零点分布与函数模长的重要工具。它可视为辐角原理的深化，定量描述了单位圆盘（或更一般区域）内函数的零点与其边界值之间的关系。公式由丹麦数学家约翰·延森提出，在值分布理论、整函数增长性分析中具有核心地位。 2. 公式的初步形式（单位圆盘情形）设函数 \( f(z) \) 在闭单位圆盘 \( \overline{D} = \{ |z| \leq 1 \} \) 上全纯，且 \( f(0) \neq 0 \)。若 \( a_ 1, a_ 2, \dots, a_ n \) 是 \( f(z) \) 在 \( |z| < 1 \) 内的零点（按重数计），则延森公式为： \[ \log |f(0)| = \frac{1}{2\pi} \int_ 0^{2\pi} \log |f(e^{i\theta})| \, d\theta - \sum_ {k=1}^n \log \frac{1}{|a_ k|}. \] 解释：左端 \( \log |f(0)| \) 反映函数在圆心的模长。右端第一项是 \( \log |f(z)| \) 在单位圆周上的平均值，体现边界对函数的影响。第二项 \( \sum \log \frac{1}{|a_ k|} \) 量化了零点对函数模的“消耗”：零点越靠近圆心（\( |a_ k| \) 越小），其贡献越大。 3. 公式的证明思路无零点情形：若 \( f(z) \) 在 \( |z| \leq 1 \) 内无零点，则 \( \log |f(z)| \) 是调和函数，由泊松积分公式直接推出 \( \log |f(0)| \) 等于边界值的平均。有零点情形：构造 Blaschke 乘积 \[ B(z) = \prod_ {k=1}^n \frac{z - a_ k}{1 - \overline{a_ k} z}, \] 消去零点后，函数 \( g(z) = f(z) / B(z) \) 在 \( |z| \leq 1 \) 内无零点且 \( |g(e^{i\theta})| = |f(e^{i\theta})| \)。对 \( g(z) \) 应用无零点情形的结论，结合 \( |B(0)| = \prod |a_ k| \) 即得公式。 4. 推广到一般圆盘 \( |z| < R \) 设 \( f(z) \) 在 \( |z| \leq R \) 上全纯，零点为 \( a_ 1, \dots, a_ n \)（含重数），且 \( f(0) \neq 0 \)，则： \[ \log |f(0)| = \frac{1}{2\pi} \int_ 0^{2\pi} \log |f(Re^{i\theta})| \, d\theta - \sum_ {k=1}^n \log \frac{R}{|a_ k|}. \] 注：当 \( R \to \infty \)，该公式可用于研究整函数的零点分布与增长阶（如结合哈伊纳定理）。 5. 与泊松公式的关系延森公式可视为调和函数泊松公式的推广：若 \( f(z) \) 无零点，则 \( \log |f(z)| \) 调和，泊松公式给出 \[ \log |f(z)| = \frac{1}{2\pi} \int_ 0^{2\pi} \frac{R^2 - |z|^2}{|Re^{i\theta} - z|^2} \log |f(Re^{i\theta})| \, d\theta. \] 延森公式相当于取 \( z=0 \) 并加入零点修正项。 6. 应用示例：整函数的增长性对整函数 \( f(z) \)，令 \( n(r) \) 表示 \( |z| \leq r \) 内的零点个数，延森公式可改写为： \[ \frac{1}{2\pi} \int_ 0^{2\pi} \log |f(re^{i\theta})| \, d\theta = \log |f(0)| + \int_ 0^r \frac{n(t)}{t} \, dt. \] 此式将函数模的平均增长与零点计数函数 \( n(t) \) 联系起来，是研究整函数值分布的基础。 7. 补充说明若 \( f(0) = 0 \)，公式需调整为零点的阶数修正。延森公式可推广到亚纯函数（计入极点贡献），此时公式中减去极点项的贡献。在复动力系统中，延森公式用于分析周期点的分布。通过以上步骤，延森公式从几何直观到严格证明，再到推广应用，逐步揭示了函数零点与模长之间的深刻联系。