曲面的平行曲面 曲面的平行曲面是指通过将曲面上每点沿法线方向移动固定距离而得到的新曲面。这个概念在几何建模和微分几何中都有重要应用。 第一步：平行曲面的定义 给定正则曲面 \(S\)，其参数表示为 \(\mathbf{r}(u,v)\)，单位法向量场为 \(\mathbf{n}(u,v)\)。对于固定常数 \(d\)，平行曲面 \(S_ d\) 定义为： \[ \mathbf{r}_ d(u,v) = \mathbf{r}(u,v) + d \cdot \mathbf{n}(u,v) \] 当 \(d > 0\) 时，点沿法线正向移动；当 \(d < 0\) 时，沿法线负向移动。平行曲面保留了原曲面的参数化结构。 第二步：平行曲面的基本形式 设原曲面 \(S\) 的第一基本形式系数为 \(E, F, G\)，第二基本形式系数为 \(L, M, N\)，主曲率为 \(\kappa_ 1, \kappa_ 2\)。平行曲面 \(S_ d\) 的第一基本形式系数为： \[ E_ d = E(1 - d\kappa_ 1)^2,\quad F_ d = F(1 - d\kappa_ 1)(1 - d\kappa_ 2),\quad G_ d = G(1 - d\kappa_ 2)^2 \] （假设参数曲线为曲率线，此时 \(F = M = 0\)）。第二基本形式系数为： \[ L_ d = L(1 - d\kappa_ 1),\quad M_ d = M(1 - d\kappa_ 1)(1 - d\kappa_ 2),\quad N_ d = N(1 - d\kappa_ 2) \] 这些公式表明平行曲面的度量性质与原曲面曲率密切相关。 第三步：平行曲面的高斯曲率与平均曲率 平行曲面 \(S_ d\) 的高斯曲率 \(K_ d\) 和平均曲率 \(H_ d\) 可通过原曲面的曲率表示： \[ K_ d = \frac{K}{1 - 2dH + d^2 K},\quad H_ d = \frac{H - dK}{1 - 2dH + d^2 K} \] 其中 \(K, H\) 是原曲面的高斯曲率和平均曲率。分母 \(1 - 2dH + d^2 K = (1 - d\kappa_ 1)(1 - d\kappa_ 2)\) 必须非零，否则平行曲面可能出现奇点。 第四步：平行曲面的奇点与退化 当 \(d = 1/\kappa_ 1\) 或 \(d = 1/\kappa_ 2\) 时，平行曲面在该点处可能产生尖点或自交（如管状曲面的自相交现象）。例如，圆柱的平行曲面在 \(d\) 等于半径时会收缩为一条直线（退化奇点）。奇点分析需要用到曲面的局部微分几何性质。 第五步：应用与推广 平行曲面在工程中用于偏移曲面设计（如数控加工中的刀具路径生成），在几何中用于研究等距变换下的曲率演化。在更高维流形中，平行曲面的概念可推广为“等距浸入的超曲面族”，其性质与主曲率分布和测地流相关。