平行曲面的主曲率关系 我们先从曲面的基本概念开始。一个光滑曲面 \( S \) 在三维欧氏空间中由参数方程 \( \mathbf{r}(u,v) \) 给出。曲面在每点有单位法向量 \( \mathbf{N} \)。沿法线方向移动固定距离 \( d \)，得到平行曲面 \( S_ d \)，其方程为 \( \mathbf{r}_ d(u,v) = \mathbf{r}(u,v) + d \mathbf{N}(u,v) \)。 为理解主曲率关系，需回顾原曲面 \( S \) 的主曲率 \( k_ 1, k_ 2 \)。它们是对应主方向的法曲率极值，满足二次方程 \( k^2 - 2Hk + K = 0 \)，其中 \( H \) 为平均曲率，\( K \) 为高斯曲率。 对平行曲面 \( S_ d \)，其法向量与原曲面相同（若 \( d \) 较小避免自交）。通过微分几何计算，\( S_ d \) 的第一基本形式系数 \( E_ d, F_ d, G_ d \) 和第二基本形式系数 \( L_ d, M_ d, N_ d \) 可由原曲面量及 \( d \) 表示。具体地，第二基本形式与原曲面的韦因加滕映射相关：\( L_ d = L - d(2HL - KE) \) 等（需精确推导）。 利用曲率公式，平行曲面 \( S_ d \) 的高斯曲率 \( K_ d \) 和平均曲率 \( H_ d \) 满足： \[ K_ d = \frac{K}{1 - 2Hd + Kd^2}, \quad H_ d = \frac{H - Kd}{1 - 2Hd + Kd^2}. \] 由此解出 \( S_ d \) 的主曲率 \( k_ {1,d}, k_ {2,d} \) 为： \[ k_ {1,d} = \frac{k_ 1}{1 - d k_ 1}, \quad k_ {2,d} = \frac{k_ 2}{1 - d k_ 2}. \] 此关系显示主曲率随 \( d \) 呈分数线性变换。当 \( d = 1/k_ 1 \) 或 \( 1/k_ 2 \) 时，分母为零，对应平行曲面的奇点（如球面平行曲面在球心处收缩为点）。 该关系在曲面偏移、等距曲面构造及几何建模中有重要应用，例如在计算机图形学中生成偏移曲面时，需处理主曲率变化导致的形状畸变。