二次型的正交表示
字数 1745 2025-12-03 04:41:23

二次型的正交表示

1. 二次型的基本概念

二次型是定义在域 \(F\) 上的 \(n\) 个变量的齐次二次多项式，形式为：

\[Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i \leq j} a_{ij} x_i x_j \quad (a_{ij} \in F). \]

通过对称化系数（令 \(a_{ji} = a_{ij}\)），可将其写为矩阵形式：

\[Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}, \]

其中 \(A\) 是 \(n \times n\) 对称矩阵，\(\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)^T\)。例如，\(Q(x,y) = 2x^2 + 4xy + 3y^2\) 对应矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)。

2. 正交表示的核心思想

正交表示的目标是将二次型通过变量替换（线性变换）简化为仅含平方项的形式：

\[Q(\mathbf{y}) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \dots + \lambda_n y_n^2. \]

这等价于寻找一个可逆矩阵 \(P\) 使得 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\)，且新矩阵 \(P^T A P\) 为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)。这一过程称为二次型的对角化。

3. 实现正交表示的方法

（1）配方法

通过逐步配方消去交叉项。例如，对二次型 \(Q(x,y,z) = x^2 + 2xy + 4y^2 + 2yz + z^2\)：

  • 首先将 \(x^2 + 2xy\) 配成 \((x+y)^2 - y^2\)；
  • 代入后整理，再对 \(y,z\) 项配方，最终得到 \((x+y)^2 + 3(y + \frac{1}{3}z)^2 + \frac{2}{3}z^2\)。
    此方法在任意域上有效（特征非 2），但需注意系数的可逆性。

（2）正交对角化（实数域特例）

在 \(F = \mathbb{R}\) 时，若 \(A\) 实对称，则存在正交矩阵 \(P\)（满足 \(P^{-1} = P^T\)）使得 \(P^T A P\) 为对角矩阵。步骤包括：

  1. 求 \(A\) 的特征值 \(\lambda_i\) 和单位特征向量；
  2. 将特征向量作为列构成正交矩阵 \(P\)。
    例如，\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) 的特征值为 \(3\) 和 \(-1\)，对应特征向量 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T\) 和 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^T\)，则 \(P^T A P = \operatorname{diag}(3, -1)\)。

4. 正交表示的几何意义

在欧几里得空间中，二次型 \(Q(\mathbf{x}) = 1\) 定义了一个二次曲面（如椭圆、双曲线）。正交表示相当于将坐标轴旋转至曲面的主轴方向，此时方程化为标准形式，几何特征（如长短轴）由特征值直接体现。

5. 推广与限制

  • 复数域：通过正交化可得到平方和形式，但几何意义减弱（因复数无正定概念）。
  • 有限域：若特征非 2，配方法仍有效，但正交群结构更复杂。
  • 奇特征域：需使用其他方法（如 Witt 分解），因配方可能失效。

6. 应用示例

在物理中，刚体的转动惯量张量是一个实对称矩阵，通过正交表示找到主轴方向，使转动惯量矩阵对角化，简化动力学方程。在统计中，主成分分析（PCA）通过正交变换将协方差矩阵对角化，提取不相关的新变量。

通过以上步骤，二次型的正交表示将代数形式、几何直观与实用计算紧密结合，成为处理对称结构的核心工具。

二次型的正交表示 1. 二次型的基本概念 二次型 是定义在域 \( F \) 上的 \( n \) 个变量的齐次二次多项式，形式为： \[ Q(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n) = \sum_ {i \leq j} a_ {ij} x_ i x_ j \quad (a_ {ij} \in F). \] 通过对称化系数（令 \( a_ {ji} = a_ {ij} \)），可将其写为矩阵形式： \[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}, \] 其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 对称矩阵，\( \mathbf{x} = (x_ 1, \dots, x_ n)^T \)。例如，\( Q(x,y) = 2x^2 + 4xy + 3y^2 \) 对应矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \)。 2. 正交表示的核心思想 正交表示 的目标是将二次型通过变量替换（线性变换）简化为仅含平方项的形式： \[ Q(\mathbf{y}) = \lambda_ 1 y_ 1^2 + \lambda_ 2 y_ 2^2 + \dots + \lambda_ n y_ n^2. \] 这等价于寻找一个可逆矩阵 \( P \) 使得 \( \mathbf{x} = P\mathbf{y} \)，且新矩阵 \( P^T A P \) 为对角矩阵 \( \operatorname{diag}(\lambda_ 1, \dots, \lambda_ n) \)。这一过程称为二次型的 对角化 。 3. 实现正交表示的方法 （1）配方法 通过逐步配方消去交叉项。例如，对二次型 \( Q(x,y,z) = x^2 + 2xy + 4y^2 + 2yz + z^2 \)： 首先将 \( x^2 + 2xy \) 配成 \( (x+y)^2 - y^2 \)； 代入后整理，再对 \( y,z \) 项配方，最终得到 \( (x+y)^2 + 3(y + \frac{1}{3}z)^2 + \frac{2}{3}z^2 \)。 此方法在任意域上有效（特征非 2），但需注意系数的可逆性。 （2）正交对角化（实数域特例） 在 \( F = \mathbb{R} \) 时，若 \( A \) 实对称，则存在正交矩阵 \( P \)（满足 \( P^{-1} = P^T \)）使得 \( P^T A P \) 为对角矩阵。步骤包括： 求 \( A \) 的特征值 \( \lambda_ i \) 和单位特征向量； 将特征向量作为列构成正交矩阵 \( P \)。 例如，\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) 的特征值为 \( 3 \) 和 \( -1 \)，对应特征向量 \( \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T \) 和 \( \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^T \)，则 \( P^T A P = \operatorname{diag}(3, -1) \)。 4. 正交表示的几何意义 在欧几里得空间中，二次型 \( Q(\mathbf{x}) = 1 \) 定义了一个二次曲面（如椭圆、双曲线）。正交表示相当于将坐标轴旋转至曲面的主轴方向，此时方程化为标准形式，几何特征（如长短轴）由特征值直接体现。 5. 推广与限制 复数域 ：通过正交化可得到平方和形式，但几何意义减弱（因复数无正定概念）。 有限域 ：若特征非 2，配方法仍有效，但正交群结构更复杂。 奇特征域 ：需使用其他方法（如 Witt 分解），因配方可能失效。 6. 应用示例 在物理中，刚体的转动惯量张量是一个实对称矩阵，通过正交表示找到主轴方向，使转动惯量矩阵对角化，简化动力学方程。在统计中，主成分分析（PCA）通过正交变换将协方差矩阵对角化，提取不相关的新变量。 通过以上步骤，二次型的正交表示将代数形式、几何直观与实用计算紧密结合，成为处理对称结构的核心工具。