复变函数的奇异积分与希尔伯特变换 1. 奇异积分的引入 在实分析中，奇异积分指积分核在某个点具有奇性（如发散）的积分。在复变函数中，奇异积分常出现在边值问题中，例如柯西型积分在边界上的极限行为。具体地，若Γ是一条光滑曲线，函数φ(τ)在Γ上满足赫尔德条件，则柯西型积分 \[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_ \Gamma \frac{\varphi(\tau)}{\tau - z} d\tau \] 在z趋近于Γ时，其边界值需通过主值积分（P.V.）定义，从而引出奇异积分的概念。 2. 柯西主值积分的定义 当z₀∈Γ时，积分核1/(τ-z₀)在τ=z₀处奇性不可积，需通过对称极限定义主值积分： \[ \text{P.V.} \int_ \Gamma \frac{\varphi(\tau)}{\tau - z_ 0} d\tau = \lim_ {\epsilon \to 0^+} \int_ {\Gamma \setminus B_ \epsilon(z_ 0)} \frac{\varphi(\tau)}{\tau - z_ 0} d\tau, \] 其中Bϵ(z₀)是以z₀为圆心、ϵ为半径的圆与Γ的交集。此定义要求Γ在z₀处局部光滑，且φ(τ)满足赫尔德条件（|φ(τ)-φ(z₀)| ≤ C|τ-z₀|^α, α>0）以保证极限存在。 3. 索霍茨基-普莱梅尔公式 该公式描述柯西型积分在边界上的跳跃行为：若Γ是光滑曲线，z₀∈Γ，则当z从Γ两侧趋近z₀时，有 \[ F^+(z_ 0) = \frac{1}{2} \varphi(z_ 0) + \frac{1}{2\pi i} \text{P.V.} \int_ \Gamma \frac{\varphi(\tau)}{\tau - z_ 0} d\tau, \] \[ F^-(z_ 0) = -\frac{1}{2} \varphi(z_ 0) + \frac{1}{2\pi i} \text{P.V.} \int_ \Gamma \frac{\varphi(\tau)}{\tau - z_ 0} d\tau, \] 其中F⁺和F⁻分别表示从Γ左侧和右侧的极限值。这一公式将奇异积分与边界值直接关联，是希尔伯特变换的复变函数基础。 4. 希尔伯特变换的导出 取Γ为实轴，φ(t)为实函数，则柯西型积分在实轴上的边界值引出希尔伯特变换： \[ H \varphi = \frac{1}{\pi} \text{P.V.} \int_ {-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(t)}{t - x} dt. \] 该变换可视为频域上的相位平移算子（乘上-i·sgn(ω)），在信号处理中用于解析信号的构造。 5. 奇异积分的推广与应用 奇异积分理论可推广至高维复流形和偏微分方程中，例如柯西-黎曼方程的边值问题。其应用涵盖流体力学（翼型理论）、弹性力学（裂纹问题）及量子场论（奇点重整化）。