曲面的法向量场 曲面的法向量场是描述曲面上每一点处法向量分布的概念。法向量是垂直于曲面切平面的向量，而法向量场则是将这些法向量视为曲面上的函数。接下来，我将逐步展开这一概念。 1. 曲面的法向量 设曲面 \( S \) 由参数方程 \( \mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \) 给出。 在点 \( \mathbf{r}(u,v) \) 处，曲面的切平面由偏导数向量 \( \mathbf{r}_ u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \) 和 \( \mathbf{r}_ v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \) 张成。 该点的法向量为： \[ \mathbf{N} = \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \] 单位法向量为 \( \mathbf{n} = \frac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|} \)。 2. 法向量场的定义 法向量场是映射 \( \mathbf{n}: S \to \mathbb{R}^3 \)，为曲面上每一点分配一个单位法向量。 若曲面可定向（即能全局一致地选择法方向），则法向量场是连续的；否则（如莫比乌斯带），法向量场可能仅局部存在。 3. 法向量场的几何意义 曲面的定向 ：法向量场的选择等价于赋予曲面一个定向（如“向上”或“向下”）。 曲率关联 ：法向量场的变化率与曲面的曲率相关。例如，法向量的方向变化由第二基本形式描述，其导数通过魏因加滕映射（形状算子）与主曲率关联。 4. 法向量场的微分性质 对单位法向量场 \( \mathbf{n} \) 求导，其导数 \( d\mathbf{n} \) 是切空间上的线性映射（即形状算子 \( S_ p \)）： \[ d\mathbf{n}(\mathbf{v}) = -S_ p(\mathbf{v}), \quad \mathbf{v} \in T_ pS \] 形状算子的特征值即为主曲率，特征方向为主方向。 5. 全局性质与拓扑障碍 若曲面紧致且可定向（如球面），则存在连续的法向量场；若不可定向（如实射影平面），则不存在全局连续法向量场。 这一性质与欧拉示性数相关：可定向闭曲面的法向量场存在性受其拓扑限制（如毛球定理表明球面上不存在无处为零的连续切向量场，但法向量场总存在）。 6. 应用举例 计算机图形学 ：法向量场用于光照计算（如Phong着色）。 物理学 ：电场通过曲面的通量计算依赖于法向量场。 几何建模 ：法向量场可用于曲面平滑、网格生成等。 通过以上步骤，你可以看到法向量场如何从局部定义扩展到全局性质，并与曲面的几何和拓扑紧密相连。