随机规划中的序贯决策与分布式条件风险价值优化 基础概念回顾 在随机规划中， 序贯决策 指决策者分阶段观察随机变量的实现并逐步调整策略的过程，其核心是平衡即时成本与未来灵活性。 条件风险价值（CVaR） 是常用的风险度量工具，定义为损失分布的尾部平均值，比传统方差或VaR更能刻画极端风险。分布式优化则强调通过多智能体协作求解问题，每个智能体仅掌握局部信息。 问题建模框架 考虑多阶段随机规划问题，目标函数包含期望成本与风险项： \[ \min_ {x_ t \in \mathcal{X} t} \mathbb{E}\left[ \sum {t=1}^T c_ t(x_ t,\xi_ t)\right] + \lambda \cdot \mathrm{CVaR} \alpha\left( \sum {t=1}^T c_ t(x_ t,\xi_ t) \right) \] 其中 \(x_ t\) 是第 \(t\) 阶段决策，\(\xi_ t\) 为随机参数，\(\lambda\) 是风险厌恶系数，\(\alpha\) 为CVaR的置信水平。分布式设定下，决策由多个智能体共同制定，每个智能体负责局部子问题。 分布式在线优化与风险分解 由于问题通常非凸且随机变量分布未知，采用 在线学习 方法：每轮智能体根据当前观测的随机实现更新决策。关键步骤是将全局CVaR风险分解为局部风险项： 利用 分位数估计 将CVaR转化为辅助变量的优化问题； 通过 共识约束 协调智能体对全局风险的理解，例如引入共享变量 \(y\) 表示全局损失分位数。 问题重构为： \[ \min_ {x_ t^i, y} \sum_ {i=1}^N \left( f_ i(x^i) + \lambda \cdot \left( y + \frac{1}{1-\alpha} \mathbb{E}[ (L_ i(x^i)-y)_ + ] \right) \right) \] 其中 \(L_ i\) 是智能体 \(i\) 的局部损失，\(N\) 为智能体数量。 分布式在线算法设计 采用 随机镜像下降 的分布式变体： 每轮每个智能体根据局部观测的随机梯度更新决策和分位数估计； 通过通信网络（如图结构）与邻居交换局部信息，确保共识。 更新规则示例： \[ y^{k+1} i = \prod {\mathcal{Y}} \left( y^k_ i - \eta_ k \left( 1 - \frac{\mathbf{1} {\{L_ i(x^i_ k) > y^k_ i\}}{1-\alpha} \right) \right) \] \[ x^{k+1} i = \arg\min {x \in \mathcal{X} i} \langle \nabla c_ i(x^i_ k, \xi_ k), x \rangle + D \phi(x, x^i_ k) \] 其中 \(\prod {\mathcal{Y}}\) 是投影操作，\(D_ \phi\) 是Bregman散度。 收敛性与实践意义 在随机梯度无偏、通信图连通性假设下，算法可收敛到近似全局最优。该方法适用于电力系统调度、分布式资源分配等场景，其中参与者需在风险约束下协同应对不确定性。与集中式方法相比，分布式设计降低了计算负担并保护了数据隐私。