Fredholm算子的指标理论

1. Fredholm算子的基本定义
   Fredholm算子是泛函分析中刻画“近似可逆性”的一类重要算子。设 \(X, Y\) 为巴拿赫空间，有界线性算子 \(T: X \to Y\) 称为Fredholm算子，若满足：
   • 核空间 \(\ker T\) 是有限维的；
   • 像空间 \(\operatorname{im} T\) 是闭的；
   • 余核 \(\operatorname{coker} T = Y / \operatorname{im} T\) 是有限维的。
     此时定义其指标为：

\[ \operatorname{index}(T) = \dim \ker T - \dim \operatorname{coker} T. \]

2. Fredholm算子的等价刻画
   通过紧扰动可给出Fredholm算子的等价描述：

   • \(T\) 是Fredholm算子当且仅当存在有界算子 \(S: Y \to X\)，使得 \(ST - I_X\) 和 \(TS - I_Y\) 均为紧算子（即 \(T\) 是紧算子的“模可逆”）。
   • 这一性质称为Fredholm择一定理的推广：方程 \(Tx = y\) 可解的充要条件是 \(y\) 在 \(Y\) 中满足有限个线性条件。

3. 指标的稳定性与摄动理论
   指标的核心性质是其对紧摄动的不变性：

   • 若 \(T\) 是Fredholm算子，\(K\) 是紧算子，则 \(T + K\) 也是Fredholm算子，且 \(\operatorname{index}(T + K) = \operatorname{index}(T)\)。
   • 进一步，指标在小的有界摄动下也保持稳定：若 \(\|S\|\) 足够小，则 \(\operatorname{index}(T + S) = \operatorname{index}(T)\)。
     这表明指标是算子的一种“拓扑不变量”。

4. 指标的计算与Atkinson定理
   Atkinson定理指出：Fredholm算子等价于在Calkin代数中可逆的算子。具体地：

   • 设 \(\pi: B(X) \to B(X)/K(X)\) 为到Calkin代数的商映射，则 \(T\) 是Fredholm算子当且仅当 \(\pi(T)\) 在Calkin代数中可逆。
   • 这一定理将指标计算转化为对商代数中可逆元的分析，并为指标理论推广至更一般代数奠定基础。

5. 指标理论的应用与推广
   指标理论在偏微分方程、拓扑学（如Atiyah-Singer指标定理）中具有深远应用：

   • 椭圆微分算子的指标关联流形的拓扑不变量（如亏格）；
   • 在非交换几何中，指标推广为K理论中的配对，用于描述非紧空间上的全局对称性。
     这一理论揭示了分析、代数与拓扑的深刻联系。