数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续八）
字数 3193 2025-12-02 20:29:33

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续八）

本次讲解将深入探讨变分原理与哈密顿-雅可比理论在可积系统中的应用。可积系统是一类具有足够多守恒量的动力系统，其运动方程可通过解析方法精确求解。哈密顿-雅可比理论为分析此类系统提供了强大框架。

步骤1：可积系统的定义与刘维尔定理

  1. 可积系统的概念：一个具有 \(n\) 个自由度的哈密顿系统 \(H(q, p)\)（其中 \(q = (q_1, \dots, q_n)\) 为广义坐标，\(p = (p_1, \dots, p_n)\) 为共轭动量）称为完全可积（或刘维尔可积），如果存在 \(n\) 个独立的、相互对易的首次积分 \(I_1(q, p), I_2(q, p), \dots, I_n(q, p)\)，即：
    • 独立性：函数 \(I_1, \dots, I_n\) 在相空间中几乎处处线性无关。
    • 对易性：泊松括号满足 \(\{I_i, I_j\} = 0\) 对所有 \(i, j\) 成立，其中泊松括号定义为：

\[ \{f, g\} = \sum_{k=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k} - \frac{\partial f}{\partial p_k} \frac{\partial g}{\partial q_k} \right). \]

这些守恒量限制了系统的运动轨迹，使其位于相空间中的一个 \(n\) 维曲面（不变环面）上。

  1. 刘维尔定理：若系统完全可积，则其运动方程可通过求积法（积分）求解。具体地，系统的轨迹由角变量 \(\theta = (\theta_1, \dots, \theta_n)\)（模 \(2\pi\)）描述，其运动是环面上的线性流动： \(\theta_i(t) = \theta_i(0) + \omega_i t\)，其中频率 \(\omega_i\) 由守恒量 \(I_i\) 决定。

步骤2：作用量-角度变量与可积性

  1. 作用量变量的引入：对于可积系统，可通过正则变换将坐标和动量 \((q, p)\) 转换为作用量-角度变量 \((J, \theta)\)，其中：
    • 作用量 \(J = (J_1, \dots, J_n)\) 是守恒量，由环路积分定义：

\[ J_k = \oint p_k \, dq_k, \]

 积分沿相空间中可缩环路的闭合路径。
  • 角度变量 \(\theta = (\theta_1, \dots, \theta_n)\) 是周期为 \(2\pi\) 的循环坐标。
  1. 哈密顿量的简化：在用作用量-角度变量表示后，哈密顿量仅依赖于作用量： \(H = H(J)\)。运动方程简化为：

\[ \dot{J}_k = 0, \quad \dot{\theta}_k = \frac{\partial H}{\partial J_k} = \omega_k(J), \]

其中 \(\omega_k\) 为常数频率。系统的解为 \(J_k = \text{常数}\)，\(\theta_k(t) = \theta_k(0) + \omega_k t\)。

步骤3：哈密顿-雅可比方程在可积系统中的应用

  1. 可分离性：若哈密顿-雅可比方程：

\[ H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}\right) = E \]

可通过变量分离法求解（即假设 \(S(q, \alpha) = \sum_{k=1}^n S_k(q_k, \alpha)\)，其中 \(\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)\) 为积分常数），则系统是可积的。分离常数 \(\alpha_i\) 对应守恒量 \(I_i\)。

  1. 生成函数与作用量变量：完全积分 \(S(q, \alpha)\) 作为正则变换的生成函数，将动量表示为 \(p_k = \partial S / \partial q_k\)。作用量变量 \(J_k\) 可通过 \(\alpha\) 表示为：

\[ J_k = \frac{1}{2\pi} \oint \frac{\partial S}{\partial q_k} \, dq_k, \]

从而建立 \(J\) 与 \(\alpha\) 的关系。哈密顿-雅可比方程变为 \(H(J) = E\)，直接给出频率 \(\omega_k = \partial H / \partial J_k\)。

步骤4：示例：开普勒问题

  1. 系统描述：考虑平面开普勒问题（行星绕恒星运动），哈密顿量为：

\[ H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\phi^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}, \]

其中 \((r, \phi)\) 为极坐标，\(k = GMm\)。该系统有守恒量 \(H\)（能量）和 \(p_\phi\)（角动量）。

  1. 哈密顿-雅可比方程：设 \(S(r, \phi) = S_r(r) + S_\phi(\phi)\)，方程分离为：

\[ \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_r}{dr} \right)^2 + \frac{1}{2mr^2} \left( \frac{dS_\phi}{d\phi} \right)^2 - \frac{k}{r} = E, \]

其中 \(dS_\phi / d\phi = p_\phi = \alpha_\phi\)（常数）。解得：

\[ S(r, \phi) = \int \sqrt{2mE + \frac{2mk}{r} - \frac{\alpha_\phi^2}{r^2}} \, dr + \alpha_\phi \phi. \]

  1. 作用量变量：计算：
    • \(J_\phi = \oint p_\phi \, d\phi = 2\pi \alpha_\phi\)（角动量的环路积分）。
    • \(J_r = \oint p_r \, dr = \oint \sqrt{2mE + \frac{2mk}{r} - \frac{J_\phi^2}{4\pi^2 r^2}} \, dr\)。
      通过积分可得 \(H = -\frac{mk^2}{2(J_r + J_\phi)^2}\)，频率 \(\omega_r = \omega_\phi = \frac{mk^2}{(J_r + J_\phi)^3}\)，表明运动是周期的。

步骤5：可积系统与摄动理论

  1. 近可积系统：若系统受小扰动 \(\epsilon H_1(q, p)\) 影响，即 \(H = H_0(J) + \epsilon H_1(J, \theta)\)，其中 \(H_0\) 可积，则可用作用量-角度变量分析稳定性（如科尔莫戈罗夫-阿诺德-莫泽定理）。

  2. 应用意义：此框架广泛应用于天体力学（如行星轨道）、量子力学（如玻尔-索末菲量子化条件）和非线性波方程（如KdV方程的可积性）。

通过以上步骤，可见变分原理与哈密顿-雅可比理论为可积系统提供了从守恒量到精确求解的完整方法论，是数学物理中连接经典与量子动力学的重要桥梁。

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续八） 本次讲解将深入探讨 变分原理与哈密顿-雅可比理论 在 可积系统 中的应用。可积系统是一类具有足够多守恒量的动力系统，其运动方程可通过解析方法精确求解。哈密顿-雅可比理论为分析此类系统提供了强大框架。 步骤1：可积系统的定义与刘维尔定理 可积系统的概念 ：一个具有 \( n \) 个自由度的哈密顿系统 \( H(q, p) \)（其中 \( q = (q_ 1, \dots, q_ n) \) 为广义坐标，\( p = (p_ 1, \dots, p_ n) \) 为共轭动量）称为 完全可积 （或刘维尔可积），如果存在 \( n \) 个独立的、相互对易的首次积分 \( I_ 1(q, p), I_ 2(q, p), \dots, I_ n(q, p) \)，即： 独立性：函数 \( I_ 1, \dots, I_ n \) 在相空间中几乎处处线性无关。 对易性：泊松括号满足 \( \{I_ i, I_ j\} = 0 \) 对所有 \( i, j \) 成立，其中泊松括号定义为： \[ \{f, g\} = \sum_ {k=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_ k} \frac{\partial g}{\partial p_ k} - \frac{\partial f}{\partial p_ k} \frac{\partial g}{\partial q_ k} \right). \] 这些守恒量限制了系统的运动轨迹，使其位于相空间中的一个 \( n \) 维曲面（不变环面）上。 刘维尔定理 ：若系统完全可积，则其运动方程可通过求积法（积分）求解。具体地，系统的轨迹由角变量 \( \theta = (\theta_ 1, \dots, \theta_ n) \)（模 \( 2\pi \)）描述，其运动是环面上的线性流动： \( \theta_ i(t) = \theta_ i(0) + \omega_ i t \)，其中频率 \( \omega_ i \) 由守恒量 \( I_ i \) 决定。 步骤2：作用量-角度变量与可积性 作用量变量的引入 ：对于可积系统，可通过正则变换将坐标和动量 \( (q, p) \) 转换为 作用量-角度变量 \( (J, \theta) \)，其中： 作用量 \( J = (J_ 1, \dots, J_ n) \) 是守恒量，由环路积分定义： \[ J_ k = \oint p_ k \, dq_ k, \] 积分沿相空间中可缩环路的闭合路径。 角度变量 \( \theta = (\theta_ 1, \dots, \theta_ n) \) 是周期为 \( 2\pi \) 的循环坐标。 哈密顿量的简化 ：在用作用量-角度变量表示后，哈密顿量仅依赖于作用量： \( H = H(J) \)。运动方程简化为： \[ \dot{J}_ k = 0, \quad \dot{\theta}_ k = \frac{\partial H}{\partial J_ k} = \omega_ k(J), \] 其中 \( \omega_ k \) 为常数频率。系统的解为 \( J_ k = \text{常数} \)，\( \theta_ k(t) = \theta_ k(0) + \omega_ k t \)。 步骤3：哈密顿-雅可比方程在可积系统中的应用 可分离性 ：若哈密顿-雅可比方程： \[ H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}\right) = E \] 可通过变量分离法求解（即假设 \( S(q, \alpha) = \sum_ {k=1}^n S_ k(q_ k, \alpha) \)，其中 \( \alpha = (\alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) \) 为积分常数），则系统是可积的。分离常数 \( \alpha_ i \) 对应守恒量 \( I_ i \)。 生成函数与作用量变量 ：完全积分 \( S(q, \alpha) \) 作为正则变换的生成函数，将动量表示为 \( p_ k = \partial S / \partial q_ k \)。作用量变量 \( J_ k \) 可通过 \( \alpha \) 表示为： \[ J_ k = \frac{1}{2\pi} \oint \frac{\partial S}{\partial q_ k} \, dq_ k, \] 从而建立 \( J \) 与 \( \alpha \) 的关系。哈密顿-雅可比方程变为 \( H(J) = E \)，直接给出频率 \( \omega_ k = \partial H / \partial J_ k \)。 步骤4：示例：开普勒问题 系统描述 ：考虑平面开普勒问题（行星绕恒星运动），哈密顿量为： \[ H = \frac{p_ r^2}{2m} + \frac{p_ \phi^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}, \] 其中 \( (r, \phi) \) 为极坐标，\( k = GMm \)。该系统有守恒量 \( H \)（能量）和 \( p_ \phi \)（角动量）。 哈密顿-雅可比方程 ：设 \( S(r, \phi) = S_ r(r) + S_ \phi(\phi) \)，方程分离为： \[ \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_ r}{dr} \right)^2 + \frac{1}{2mr^2} \left( \frac{dS_ \phi}{d\phi} \right)^2 - \frac{k}{r} = E, \] 其中 \( dS_ \phi / d\phi = p_ \phi = \alpha_ \phi \)（常数）。解得： \[ S(r, \phi) = \int \sqrt{2mE + \frac{2mk}{r} - \frac{\alpha_ \phi^2}{r^2}} \, dr + \alpha_ \phi \phi. \] 作用量变量 ：计算： \( J_ \phi = \oint p_ \phi \, d\phi = 2\pi \alpha_ \phi \)（角动量的环路积分）。 \( J_ r = \oint p_ r \, dr = \oint \sqrt{2mE + \frac{2mk}{r} - \frac{J_ \phi^2}{4\pi^2 r^2}} \, dr \)。 通过积分可得 \( H = -\frac{mk^2}{2(J_ r + J_ \phi)^2} \)，频率 \( \omega_ r = \omega_ \phi = \frac{mk^2}{(J_ r + J_ \phi)^3} \)，表明运动是周期的。 步骤5：可积系统与摄动理论 近可积系统 ：若系统受小扰动 \( \epsilon H_ 1(q, p) \) 影响，即 \( H = H_ 0(J) + \epsilon H_ 1(J, \theta) \)，其中 \( H_ 0 \) 可积，则可用作用量-角度变量分析稳定性（如科尔莫戈罗夫-阿诺德-莫泽定理）。 应用意义 ：此框架广泛应用于天体力学（如行星轨道）、量子力学（如玻尔-索末菲量子化条件）和非线性波方程（如KdV方程的可积性）。 通过以上步骤，可见变分原理与哈密顿-雅可比理论为可积系统提供了从守恒量到精确求解的完整方法论，是数学物理中连接经典与量子动力学的重要桥梁。