索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯延迟时间矩阵的谱分解分析（续三十）
本讲将深入探讨索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯延迟时间矩阵在复平面特定路径上的积分表示及其与谱分解的联系。我们将重点分析一个关键积分，并阐明其物理意义。
1. 问题背景与积分表示
在量子散射理论中，威格纳-史密斯延迟时间矩阵 \(\mathbf{Q}(E)\) 描述了能量为 \(E\) 的入射波在散射中心附近的平均滞留时间。当系统的哈密顿量含有索末菲-库默尔函数所描述的势场时，\(\mathbf{Q}(E)\) 的矩阵元可通过索末菲-库默尔函数 \(F(a, c; z)\) 的特定积分表示。我们考虑如下形式的积分：
\[I(\epsilon) = \int_{\Gamma} e^{-\epsilon t} F(a, c; t) \, dt \]
其中，\(\Gamma\) 是复平面 \(t\) 上的一条特定路径（如Hankel围道），\(\epsilon\) 是一个小正参数，用于控制积分的收敛性。此积分将系统的延迟时间与索末菲-库默尔函数的全局解析性质联系起来。
2. 积分路径的选择与解析延拓
积分路径 \(\Gamma\) 的选择至关重要，它必须避开被积函数的奇点（如分支点和极点），并确保积分收敛。对于索末菲-库默尔函数 \(F(a, c; t)\)，其奇点通常位于 \(t=0\) 和 \(t=\infty\)。我们选择Hankel围道，该路径从 \(t = -\infty - i\delta\)（\(\delta > 0\)）出发，绕 \(t=0\) 逆时针一周，再回到 \(t = -\infty + i\delta\)。这样，路径包围了 \(t=0\) 处的分支点，但避免了 \(t=\infty\) 的奇点。通过此路径，我们可以利用 \(F(a, c; t)\) 的积分表示式，将其解析延拓到整个复平面（除奇点外），为后续的谱分析奠定基础。
3. 积分的渐近计算与留数定理
为了计算积分 \(I(\epsilon)\)，我们采用渐近方法。首先，将索末菲-库默尔函数在其奇点附近展开。在 \(t=0\) 附近，利用 \(F(a, c; t)\) 的级数表示：
\[F(a, c; t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(c)_n n!} t^n \]
其中 \((a)_n\) 是Pochhammer符号。将此级数代入积分，并逐项积分（需验证一致性），我们得到 \(I(\epsilon)\) 在 \(\epsilon \to 0^+\) 时的主导项。更重要的是，应用留数定理：积分 \(I(\epsilon)\) 的值等于被积函数在路径 \(\Gamma\) 所围区域内所有奇点的留数之和。这些奇点对应于索末菲-库默尔函数在复 \(t\) 平面的极点，而每个极点又对应着延迟时间矩阵 \(\mathbf{Q}(E)\) 的一个本征值（即谱点）。
4. 谱分解的显式联系
留数定理将积分 \(I(\epsilon)\) 表示为所有相关极点留数的和：
\[I(\epsilon) = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(e^{-\epsilon t} F(a, c; t), t_k) \]
其中 \(t_k\) 是 \(F(a, c; t)\) 在区域内的极点位置。每个留数 \(\text{Res}(e^{-\epsilon t} F(a, c; t), t_k)\) 正比于 \(e^{-\epsilon t_k}\)，而 \(t_k\) 的实部与延迟时间矩阵的本征值 \(\lambda_k\) 有关：\(\text{Re}(t_k) \propto 1/\lambda_k\)。因此，积分 \(I(\epsilon)\) 的渐近行为（如指数衰减率）直接揭示了 \(\mathbf{Q}(E)\) 的谱分布。例如，若存在一个极点 \(t_0\) 使得 \(\text{Re}(t_0)\) 最小，则当 \(\epsilon \to 0^+\) 时，\(I(\epsilon)\) 的主导行为由 \(e^{-\epsilon t_0}\) 决定，这对应着延迟时间矩阵的最小本征值（即最长的延迟时间），反映了系统中最稳定的散射共振态。
5. 物理意义：延迟时间与共振寿命
最终，该积分表示的物理意义变得清晰：延迟时间矩阵 \(\mathbf{Q}(E)\) 的每个本征值 \(\lambda_k\) 描述了一个散射通道的共振寿命。通过积分 \(I(\epsilon)\) 的谱分解，我们将宏观可观测的延迟时间（即 \(I(\epsilon)\) 的积分值）与微观的共振态（即 \(\mathbf{Q}(E)\) 的谱点）联系起来。例如，在量子点或波导系统中，该方法可用于预测电子或光波的滞留时间，为设计量子器件提供理论依据。