组合数学中的组合联络与曲率 我们先从最基础的几何概念出发。想象一个平滑的曲面，比如球面。在这个曲面上，我们可以定义向量场。一个自然的问题是：如何比较曲面上不同点处的向量？在平直的空间（如欧几里得平面）里，我们可以简单地将向量平行移动。但在弯曲的曲面上，"平行"的概念变得模糊。 联络 就是为解决这个问题而引入的，它定义了曲面上如何将一个向量沿着一条路径"平行移动"的规则。 现在，我们将这个光滑的几何概念"离散化"或"组合化"。我们不再考虑光滑的曲面，而是考虑由顶点、边和面构成的 图 或 复形 。我们的目标是，在这个纯粹组合的结构上，定义类似"联络"和"曲率"的概念。 基础设定：图上的向量 假设我们有一个图 G = (V, E)，其中 V 是顶点集合，E 是边集合。我们在每个顶点 v 上赋予一个向量空间 V_ v（这称为一个 向量丛 的纤维）。最简单的情况是，所有 V_ v 都是同一个向量空间，比如一维实数空间 R（即每个顶点上只有一个数字）或二维复空间 C²。一个 截面 s 则为每个顶点 v 分配一个该向量空间中的向量 s(v) ∈ V_ v。 组合联络的定义 在光滑几何中，联络定义了沿无穷小切向量的方向导数。在组合图上是离散的，没有"方向"的无穷小概念，但我们有明确的 边 。因此，组合联络的核心思想是：为图中的每一条有向边 e = (u -> v)，定义一个线性映射（或称矩阵）A_ e，它告诉我们如何将顶点 u 处的向量"传输"或"变换"到顶点 v 处的向量。 更具体地说，对于一条从顶点 u 指向顶点 v 的边 e，组合联络 A 赋予一个线性同构 A_ e : V_ u -> V_ v。这个映射 A_ e 可以理解为：如果你在 u 点有一个向量 ξ_ u，那么沿着边 e 走到 v 点，这个向量就变成了 A_ e(ξ_ u)。这个映射必须是可逆的，因为我们可能还需要从 v 走回 u。通常，我们规定反向边 e' = (v -> u) 上的联络是 A_ e 的逆矩阵：A_ {e'} = (A_ e)^{-1}。 平行移动 有了联络，我们就可以定义沿着一条路径 γ = (e1, e2, ..., ek) 的 平行移动 。路径 γ 是从顶点 v0 经过边 e1 到 v1，再经 e2 到 v2，...，最后到达 vk。沿着这条路径的平行移动就是一个线性映射 P_ γ : V_ {v0} -> V_ {vk}，它由路径上所有边的联络"拼接"而成： P_ γ = A_ {ek} ◦ ... ◦ A_ {e2} ◦ A_ {e1} 这个映射 P_ γ 告诉我们，一个在起点 v0 的向量，经过沿着路径 γ 的平行移动后，在终点 vk 会变成什么样子。 组合曲率的引入 在光滑几何中，曲率衡量的是向量绕一个闭合回路平行移动一周后，是否与原始向量一致。如果空间是平直的，那么向量不变；如果空间是弯曲的，向量可能会发生旋转。 在组合图上，我们同样可以定义曲率，但它是定义在 闭合回路 （即起点和终点相同的路径）上的。对于一个基于顶点 v 的闭合回路 γ（即 v0 = vk = v），平行移动 P_ γ 是一个从向量空间 V_ v 到自身的线性映射（一个自同态）。 我们定义，沿着闭合回路 γ 的 曲率 F_ γ 就是这个平行移动映射 P_ γ。如果对于所有基于 v 的小回路（比如一个三角形面构成的回路），P_ γ 都是恒等映射，那么我们认为这个局部区域是"平直"的。如果 P_ γ 不是恒等映射，就意味着存在"曲率"，向量绕行一周后发生了非平凡的变换。 曲率的局部化：面曲率 在图或更一般的复形（如三角剖分）上，最基本的闭合回路是那些围绕一个"面"的回路。例如，在一个三角形的三条边构成的回路。我们可以将围绕一个面 f 的曲率 F_ f 定义为沿着其边界回路 γ_ f 的平行移动 P_ {γ_ f}。这个 F_ f 是组合曲率最核心的局部体现。整体空间的曲率信息可以由这些局部面曲率以某种方式组合而成。 总结一下，组合联络与曲率理论将微分几何中的核心概念（联络、平行移动、曲率）移植到了离散的组合结构（如图、复形）上。联络由边上的线性映射定义，曲率则由面上闭合回路的平行移动holonomy定义。这一理论在离散微分几何、图上的动力系统、拓扑物理（例如离散规范场论）以及算法研究中都有重要应用。