博雷尔-σ-代数的强可测性与博赫纳可测性的关系 第一步：回顾基本定义 在测度论中，若 \(X\) 是一个拓扑空间，其上的 博雷尔-σ-代数 \(\mathcal{B}(X)\) 是由所有开集生成的最小σ-代数。若 \(X\) 还是 可分的度量空间 （例如欧氏空间），则其博雷尔-σ-代数具有更好的性质，如强可测性的定义依赖于空间的可分性。 第二步：强可测函数的定义 设 \(X\) 是 可分巴拿赫空间 ，\((\Omega, \mathcal{F}, \mu)\) 是测度空间。函数 \(f: \Omega \to X\) 称为 强可测的 ，如果存在一列简单函数（取有限个值的可测函数）\(f_ n: \Omega \to X\)，使得 \(f_ n \to f\) 几乎处处 （依范数收敛）。强可测性等价于： \(f\) 是 可数值可测 的（即像集可数且每个原像可测）； \(f\) 是 博雷尔可测 的（对 \(X\) 的博雷尔σ-代数）。 第三步：博赫纳可测性的定义 博赫纳可测性是对强可测性的进一步限制：若 \(f\) 强可测且满足 \(\|f(\cdot)\|_ X\) 是可测的实值函数 ，则称 \(f\) 是 博赫纳可测的 。博赫纳可测性是定义 博赫纳积分 （向量值函数的勒贝格积分）的基础，要求 \(\int_ \Omega \|f\|_ X \,d\mu < \infty\)。 第四步：两者关系的核心结论 在 可分巴拿赫空间 中： 博赫纳可测性 ⟺ 强可测性 。 这是因为强可测性已隐含 \(\|f(\cdot)\|_ X\) 的可测性（因范数连续，复合后可测）。但在 非可分空间 中，该等价性失效：强可测函数的值域必然包含于一个可分子空间，而博赫纳可测性允许值域不可分，但需额外要求范数可测。 第五步：非可分空间的反例 设 \(X = L^\infty([ 0,1])\)（不可分），定义 \(f: [ 0,1] \to X\) 为 \(f(t) = I_ {[ 0,t ]}\)（特征函数）。此时： \(f\) 是博赫纳可测的（因每个 \(f(t)\) 有界，范数可测）； 但 \(f\) 不是强可测的，因为其值域不可分，且不存在简单函数逼近（违背强可测定义）。 第六步：应用场景 该关系在 向量值积分理论 中至关重要： 强可测性用于定义 佩蒂斯积分 （弱积分）； 博赫纳可测性用于定义 博赫纳积分 （强积分）。 在可分空间中，两者一致，简化了理论；在非可分空间中需明确区分，例如在随机过程论中处理 \(L^\infty\)-值函数时。