可以解出这两个方向。

曲面的主曲率与欧拉公式（续） 好的，我们继续深入探讨曲面的主曲率。你已经了解了法曲率、主曲率和主方向的基本概念。现在，我们来看一个将这些概念精妙联系起来的核心公式——欧拉公式。 问题的提出：任意方向的法曲率 假设在曲面某点P，我们已经找到了两个相互垂直的主方向，对应的主曲率分别是 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \)（通常约定 \( k_ 1 \leq k_ 2 \)）。我们知道沿着这两个方向，法曲率取极值。 现在，一个很自然的问题是：在点P，沿着与第一个主方向夹角为 \( \theta \) 的任意一个切方向，其法曲率 \( k_ n(\theta) \) 是多少？它是否与主曲率 \( k_ 1, k_ 2 \) 有关？ 欧拉公式的表述 答案是肯定的，并且它们之间的关系由优美的欧拉公式给出： \[ k_ n(\theta) = k_ 1 \cos^2\theta + k_ 2 \sin^2\theta \] 这个公式告诉我们， 曲面在任意一点、沿任意切方向的法曲率，都可以表示为两个主曲率的加权平均 。权重由该方向与主方向之间的夹角 \( \theta \) 的余弦和正弦的平方决定。 公式的验证与理解 我们可以通过几个特殊角度来验证这个公式的合理性： 当 \( \theta = 0^\circ \) 时，这正好是第一个主方向。公式变为 \( k_ n(0) = k_ 1 \cdot 1 + k_ 2 \cdot 0 = k_ 1 \)。符合定义。 当 \( \theta = 90^\circ \) 时，这是第二个主方向。公式变为 \( k_ n(90^\circ) = k_ 1 \cdot 0 + k_ 2 \cdot 1 = k_ 2 \)。也符合定义。 当 \( \theta = 45^\circ \) 时，公式变为 \( k_ n(45^\circ) = k_ 1 \cdot \frac{1}{2} + k_ 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{k_ 1 + k_ 2}{2} \)。这正是平均曲率 \( H \) 的值。这说明在45度方向上，法曲率恰好等于平均曲率。 几何意义 欧拉公式深刻地揭示了法曲率在一点附近的变化规律。当我们让方向角 \( \theta \) 从 \( 0^\circ \) 连续变化到 \( 360^\circ \) 时，法曲率 \( k_ n(\theta) \) 会在两个主曲率 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 之间周期性地变化。 如果 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 同号（即该点为椭圆点），那么所有方向的 \( k_ n(\theta) \) 都与它们同号，且其值在 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 之间。 如果 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 异号（即该点为双曲点），那么必然存在两个特殊的方向，使得 \( k_ n(\theta) = 0 \)。这两个方向就是该点的 渐近方向 。令欧拉公式为零： \[ k_ 1 \cos^2\theta + k_ 2 \sin^2\theta = 0 \] 可以解出这两个方向。 与法曲率的欧拉公式的关系 你之前可能见过法曲率的欧拉公式，它通常表示为： \[ k_ n = \kappa_ 1 \cos^2\phi + \kappa_ 2 \sin^2\phi \] 请注意，这里的 \( \phi \) 是切方向与 曲率线 （也就是主方向所在的曲线）的夹角。我们当前讲解的公式在本质上与它完全一致，只是符号不同。我们这里的 \( \theta \) 就是 \( \phi \)，而 \( k_ 1, k_ 2 \) 就是 \( \kappa_ 1, \kappa_ 2 \)。欧拉公式是微分几何中描述曲面局部形状的一个基本且强大的工具。