平行四边形的欧拉定理在n维空间中的推广（续）
在之前讨论的基础上，我们将进一步探讨平行四边形欧拉定理在高维空间中的推广形式，特别是涉及向量长度平方和与对角线长度平方和的关系。
- 二维平行四边形欧拉定理回顾
对于平行四边形，欧拉定理表述为：两条对角线的平方和等于四边的平方和。用向量表示，若平行四边形由向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 张成，则对角线向量为 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\)，其长度平方和为：
\[ \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 + \|\mathbf{a} - \mathbf{b}\|^2 = 2(\|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2)。 \]
这一结论依赖于内积的线性性质，且对任意内积空间成立。
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推广到n维平行多面体（超平行六面体）
在n维欧几里得空间中，考虑由线性无关向量 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\) 张成的平行多面体。其“对角线”定义为所有顶点到相对顶点的位移向量，主对角线为 \(\mathbf{d} = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 + \dots + \mathbf{v}_n\)。推广的欧拉定理涉及所有“广义对角线”的长度平方和与边长平方和的关系。 -
广义对角线的分类与计数
- 平行多面体有 \(2^n\) 个顶点，每个顶点对应一个符号向量 \((\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_n)\)，其中 \(\epsilon_i = \pm 1\)。
- 对角线向量为 \(\mathbf{d}_{\epsilon} = \epsilon_1 \mathbf{v}_1 + \epsilon_2 \mathbf{v}_2 + \dots + \epsilon_n \mathbf{v}_n\)，其中至少有一个 \(\epsilon_i = +1\) 和一个 \(\epsilon_i = -1\)（避免零向量或边向量）。
- 对角线的总数为 \(2^n - 2\)（排除自身和边向量）。
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长度平方和的计算
所有对角线向量的长度平方和为：
\[ \sum_{\epsilon \in \{\pm 1\}^n} \|\mathbf{d}_{\epsilon}\|^2 - 2\sum_{i=1}^n \|\mathbf{v}_i\|^2， \]
其中第一项求和覆盖所有符号组合（包括边向量），第二项减去边向量的贡献。通过内积展开：
\[
\|\mathbf{d}_{\epsilon}\|^2 = \sum_{i=1}^n \|\mathbf{v}_i\|^2 + 2\sum_{i
对所有 \(\epsilon\) 求和时，交叉项 \(\epsilon_i \epsilon_j\) 的符号平均为零，因此：
\[ \sum_{\epsilon} \|\mathbf{d}_{\epsilon}\|^2 = 2^n \sum_{i=1}^n \|\mathbf{v}_i\|^2。 \]
最终，对角线长度平方和为：
\[ 2^n \sum_{i=1}^n \|\mathbf{v}_i\|^2 - 2\sum_{i=1}^n \|\mathbf{v}_i\|^2 = 2(2^{n-1} - 1)\sum_{i=1}^n \|\mathbf{v}_i\|^2。 \]
这一结果显示了n维空间中边长平方和与对角线平方和的线性关系，继承了二维情形的简洁形式。
- 几何与代数意义
该推广揭示了高维平行多面体的度量性质，其证明依赖于内积空间的对称性和组合数学。它在编码理论、格点几何等领域有应用，例如在分析高维信号的误差校正时，对角线平方和的关系可用于约束向量集的分布。