曲面的切触几何 切触几何是微分几何的一个分支，研究流形上的切触结构。一个切触结构是流形上的一个全局定义的1-形式场，满足一个特定的非退化条件。为了理解这个概念，我们需要从更基础的几何概念开始。 首先，考虑一个三维空间中的曲面。在曲面的每一点，我们都有一个切平面。切平面是由该点处所有可能的切向量张成的二维平面。现在，想象我们不仅关注曲面本身，还关注与曲面相切的某个方向或直线。这引出了“接触元素”的概念。一个接触元素是指一个点连同通过该点的一条直线（在三维空间中）或一个超平面（在高维空间中）。在三维情况下，一个接触元素就是一个点和一个通过该点的平面（即该点的切平面）。 接下来，我们考虑所有可能的接触元素构成的集合。对于一个给定的三维空间中的曲面，其所有切平面的集合构成了一个五维的空间（因为曲面是二维的，而切平面的方向由二维的 Grassmann 流形描述，2 + 3 = 5）。更一般地，对于一个n维流形，其切触元素的空间是 2n-1 维的。这个空间被称为该流形的切触化或射影余切丛。 现在，关键的一步是在这个 (2n-1) 维的切触元素空间上定义一个特殊的1-形式，称为切触形式。在三维欧几里得空间 R^3 的标准例子中，其切触化是五维的。我们可以用坐标 (x, y, z, p, q) 来描述一个接触元素，其中 (x, y, z) 是空间中的点，而 (p, q) 描述了通过该点的切平面的方向（例如，该平面的法向量的方向数）。切触形式通常定义为 α = dz - p dx - q dy。这个形式的几何意义是：它度量了一个方向向量与给定切平面之间的“偏离”程度。如果一个曲线的发展始终保持在由接触元素定义的切平面内，那么沿着这条曲线，这个切触形式 α 为零。 切触结构的核心定义是：一个切触结构是流形上的一个光滑超平面场（即余一维的分布），它由某个1-形式 α 的核给出，并且满足 α ∧ dα ≠ 0（即处处非零）。这个条件 α ∧ dα ≠ 0 确保了该超平面场是“完全不可积”的。这意味着，不存在一个二维曲面可以处处与此超平面场相切。这与辛几何中的辛形式 dα 的非退化性有深刻联系。事实上，一个切触流形总可以看作某个辛流形的边界。 切触几何与经典几何的联系体现在多个方面。例如，一个曲面上的切触结构可以用于研究曲面上的测地线流、光学中的波前传播以及哈密顿力学中的约束系统。在几何中，一个重要的概念是勒让德子流形，它是切触流形中的一个子流形，其维数是 n-1（在三维切触流形中则是曲线），并且完全落在切触超平面内（即限制在其上的切触形式为零）。勒让德子流形代表了经典几何中的包络或波前等概念。 总结来说，切触几何通过研究点与方向（或切平面）的联合空间，以及其上定义的不可积的超平面场，为我们理解曲线和曲面的局部与整体性质提供了一个强大而统一的框架。它连接了微分方程、变分法和物理学中的诸多问题。