图的分数边着色 让我为您详细介绍图论中的分数边着色概念，这是一个将经典边着色问题推广到分数领域的优美理论。 1. 经典边着色回顾 首先回忆图的边着色：将图的边集划分为尽可能少的匹配（即边不相交的边集）。这个最小数目称为图的边色数χ'(G)。例如，彼得森图的边色数为4。 2. 分数化的基本思想 分数边着色的核心思想是允许边被"部分着色"，即每条边可以被分配多个颜色，但每个颜色的总权重不超过1。具体来说，我们考虑将匹配推广到分数匹配：给每条边e分配一个权重w(e)∈[ 0,1 ]，使得每个顶点关联的边权重和不超过1。 3. 分数边着色的精确定义 分数边色数χ'_ f(G)定义为最小的实数k，使得存在一组匹配M₁,M₂,...,M_ t和权重λ₁,λ₂,...,λ_ t∈[ 0,1 ]，满足： 对每条边e，∑_ {i:e∈M_ i} λ_ i = 1（每条边被完全着色） ∑_ {i=1}^t λ_ i = k（总颜色权重最小） 4. 线性规划表述 分数边着色可以等价地表述为线性规划问题。考虑以下配对线性规划： 原始问题：max ∑ {e∈E} w(e)，满足对每个顶点v，∑ {e∋v} w(e) ≤ 1，w(e) ≥ 0 对偶问题：min ∑ {v∈V} y(v)，满足对每条边e，∑ {v∈e} y(v) ≥ 1，y(v) ≥ 0 根据线性规划对偶定理，原始问题的最优值等于对偶问题的最优值。 5. 分数边色数的性质 分数边色数χ'_ f(G)具有以下重要性质： χ'_ f(G) ≤ χ'(G) ≤ ⌈χ'_ f(G)⌉ 对于二部图，χ'_ f(G) = Δ(G)（最大度数） 对于任意图，χ'_ f(G) ≥ Δ(G) 对于无三角形图，χ'_ f(G)可以严格小于χ'(G) 6. 与多重边着色的关系 分数边色数还可以通过考虑图G的k倍边图G_ k来理解，其中每条边被替换为k条平行边。那么χ' f(G) = lim {k→∞} χ'(G_ k)/k。 7. 应用与算法意义 分数边着色在调度问题、资源分配等领域有重要应用。由于它可以通过线性规划有效求解，为困难的边着色问题提供了可计算的下界和近似解。